12. Боковые стороны АВ и ВС равнобедренного треугольника АВС равны 5, а угол между ними 45°. Докажите, что основание АС больше 2,5.

Ответ: Основание AC больше 2.5

Пошаговое решение:

• Шаг 1: Применим теорему косинусов.

  Теорема косинусов утверждает, что для треугольника со сторонами a, b, c и углом γ между сторонами a и b, выполняется равенство: \[c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot cos(γ)\]

• Шаг 2: Подставим известные значения.

  В нашем случае, AB = BC = 5 и угол ∠B = 45°. Тогда: \[AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot cos(45°)\] \[AC^2 = 5^2 + 5^2 - 2 \cdot 5 \cdot 5 \cdot cos(45°)\]

• Шаг 3: Упростим выражение.

  Поскольку cos(45°) = \(\frac{\sqrt{2}}{2}\), имеем: \[AC^2 = 25 + 25 - 50 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\] \[AC^2 = 50 - 25\sqrt{2}\]

• Шаг 4: Оценим значение \(AC^2\).

  Известно, что \(\sqrt{2} ≈ 1.41\), тогда: \[AC^2 ≈ 50 - 25 \cdot 1.41\] \[AC^2 ≈ 50 - 35.25\] \[AC^2 ≈ 14.75\]

• Шаг 5: Найдем значение AC.

  Извлекаем квадратный корень из обеих частей: \[AC ≈ \sqrt{14.75}\] \[AC ≈ 3.84\]

• Шаг 6: Сравним AC с 2.5.

  Так как 3.84 > 2.5, утверждение доказано: основание AC больше 2.5.

Ответ: Основание AC больше 2.5