16. Боковые стороны MN и KP прямоугольной трапеции MNKP равны соответственно 16 и 20, а основание NK = 4. Биссектриса угла MPK проходит через середину стороны MN. Найди площадь трапеции.

Для решения задачи необходимо выполнить чертеж, соответствующий условию, и провести дополнительные построения. Рассмотрим прямоугольную трапецию MNKP, где MN и KP — боковые стороны, а NK — меньшее основание, равное 4.

1. Проведем высоту NH к стороне KP. Получим прямоугольный треугольник KNH, в котором KN = 4, MN = 16, KP = 20. Тогда KH = KP - HP = KP - MN = 20 - 16 = 4.

2. Рассмотрим треугольник KNH. Он является равнобедренным прямоугольным треугольником, так как KN = KH = 4. Следовательно, угол NKH равен 45°. Значит, угол PKN = 90° + 45° = 135°.

3. Поскольку биссектриса угла MPK проходит через середину стороны MN, пусть эта середина будет точкой L, то есть ML = LN = MN/2 = 16/2 = 8. Обозначим угол MPL как α. Тогда угол LPK тоже равен α, так как PL - биссектриса угла MPK.

4. Рассмотрим треугольник MLP. Так как ML = 8, MP - гипотенуза, а LP - биссектриса угла MPK, данный треугольник должен иметь особые свойства, чтобы PL проходила через середину MN.

5. Проведем высоту PT из точки P к стороне MN. Рассмотрим прямоугольный треугольник KNP, образованный высотой PT, KN и KP. Пусть MT = x, тогда PT = NK = 4. Тогда, используя теорему Пифагора для треугольников MTP и KPH:

MP² = MT² + PT² = x² + 4²

KP² = KH² + NH²

6. Рассмотрим, что MN = 16 и KP = 20. Высота NH равна NK = 4.

7. Получаем, что:

KH = KP - MN = 20 - 16 = 4.

8. Значит:

Площадь трапеции MNKP = (MN + KP) / 2 * NK = (16 + 20) / 2 * 4 = 36 / 2 * 4 = 18 * 4 = 72.

Ответ: 72.