Большее основание равнобедренной трапеции равно 34. Боковая сторона равна 14. Синус острого угла равен $$\frac{2\sqrt{10}}{7}$$. Найдите меньшее основание.

Пусть дана равнобедренная трапеция ABCD, где BC – меньшее основание, AD – большее основание, AB и CD – боковые стороны. Опустим высоту BH из вершины B на основание AD. Тогда AH будет равно полуразности оснований, то есть $$AH = \frac{AD - BC}{2}$$.

Нам известно, что AD = 34, AB = CD = 14, и $$sin(\angle A) = \frac{2\sqrt{10}}{7}$$.

В прямоугольном треугольнике ABH синус угла A равен отношению противолежащего катета BH к гипотенузе AB: $$sin(\angle A) = \frac{BH}{AB}$$.

Отсюда находим высоту BH: $$BH = AB \cdot sin(\angle A) = 14 \cdot \frac{2\sqrt{10}}{7} = 4\sqrt{10}$$.

Теперь найдем AH, используя теорему Пифагора в треугольнике ABH: $$AH^2 + BH^2 = AB^2$$

$$AH^2 = AB^2 - BH^2 = 14^2 - (4\sqrt{10})^2 = 196 - 16 \cdot 10 = 196 - 160 = 36$$

$$AH = \sqrt{36} = 6$$.

Так как $$AH = \frac{AD - BC}{2}$$, то $$6 = \frac{34 - BC}{2}$$.

Решаем уравнение относительно BC: $$12 = 34 - BC$$

$$BC = 34 - 12 = 22$$.

Таким образом, меньшее основание трапеции равно 22.

Ответ: 22