Боря красит 10 различных гаражей в белый и синий цвета. У него хватит краски на 8 гаражей белого цвета и 3 гаража синего цвета (всю краску использовать необязательно). Сколькими способами Боря может раскрасить гаражи?

Пусть белыми будут окрашены \(k\) гаражей. Так как всего гаражей 10, синими будут окрашены \(10-k\) гаражей.

Белой краски хватает не более чем на 8 гаражей, а синей — не более чем на 3:

\(k\le 8\), \(10-k\le 3\), поэтому \(k\ge 7\).

Возможны два случая:

1. 7 белых и 3 синих гаража: \(C_{10}^{7}=120\);
2. 8 белых и 2 синих гаража: \(C_{10}^{8}=45\).

Общее количество способов:

\(120+45=165\).

Ответ: 165 способов.