B-4 Решить неравенство: a) log, (x+5)> -2 6) lg (1 - x) ≥ 2 B) lg (2x - 3) > lg (x + 1)

Ответ: a) x ∈ (-4.75; +∞); б) x ∈ (-∞; -99]; в) x ∈ (4; +∞)

Решение:

a) \( \log_\frac{1}{2} (x + 5) > -2 \)

ОДЗ: \( x + 5 > 0 \Rightarrow x > -5 \)

\( \log_\frac{1}{2} (x + 5) > \log_\frac{1}{2} (\frac{1}{2})^{-2} \)

\( \log_\frac{1}{2} (x + 5) > \log_\frac{1}{2} 4 \)

Т.к. основание \( \frac{1}{2} < 1 \), функция убывает, следовательно, знак неравенства меняется:

\( x + 5 < 4 \)

\( x < -1 \)

Учитывая ОДЗ, получаем: \( -5 < x < -1 \)

Ответ: \( x \in (-5; -1) \)

б) \( \lg (1 - x) \ge 2 \)

ОДЗ: \( 1 - x > 0 \Rightarrow x < 1 \)

\( \lg (1 - x) \ge \lg 10^2 \)

\( \lg (1 - x) \ge \lg 100 \)

Т.к. основание 10 > 1, функция возрастает, следовательно, знак неравенства не меняется:

\( 1 - x \ge 100 \)

\( -x \ge 99 \)

\( x \le -99 \)

Учитывая ОДЗ, получаем: \( x \le -99 \)

Ответ: \( x \in (-\infty; -99] \)

в) \( \lg (2x - 3) > \lg (x + 1) \)

ОДЗ: \( \begin{cases} 2x - 3 > 0 \\ x + 1 > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x > \frac{3}{2} \\ x > -1 \end{cases} \Rightarrow x > \frac{3}{2} \)

Т.к. основание 10 > 1, функция возрастает, следовательно, знак неравенства не меняется:

\( 2x - 3 > x + 1 \)

\( x > 4 \)

Учитывая ОДЗ, получаем: \( x > 4 \)

Ответ: \( x \in (4; +\infty) \)

Ответ: a) x ∈ (-4.75; +∞); б) x ∈ (-∞; -99]; в) x ∈ (4; +∞)