Бригада железнодорожников в первый день отремонтировала 2⁄₉ всего участка пути, во второй день — 1⁄₇ оставшегося участка пути, а в третий — остальные 6 км. Сколько километров пути отремонтировала бригада за три дня?

Решение:

1. Найдем, какую часть пути бригада отремонтировала за два дня: \( \frac{2}{9} + \frac{1}{7} = \frac{2 \cdot 7 + 1 \cdot 9}{9 \cdot 7} = \frac{14 + 9}{63} = \frac{23}{63} \) всего пути.
2. Найдем, какая часть пути осталась отремонтировать в третий день: \( 1 - \frac{23}{63} = \frac{63 - 23}{63} = \frac{40}{63} \) всего пути.
3. Известно, что в третий день отремонтировали 6 км. Найдем общую длину участка пути: \( 6 \text{ км} \div \frac{40}{63} = 6 \cdot \frac{63}{40} = \frac{378}{40} = \frac{189}{20} = 9.45 \) км.
4. Рассчитаем, сколько километров пути отремонтировала бригада за три дня. Это общая длина всего участка: \( 9.45 \) км.

Ответ: 9.45 км.