Буква И пишется в окончании существительного...

Решение:

В окончаниях существительных после шипящих и Ц под ударением пишется Ё, без ударения — Е. В окончаниях существительных после других согласных пишется И.

Проверим варианты:

• жить в захолустье (без ударения, после шипящей, поэтому Е)
• встретиться в театре (без ударения, после мягкого согласного, поэтому Е)
• бродить по отмели (под ударением, после мягкого согласного, поэтому И)
• жить при больнице (без ударения, после шипящей, поэтому Е)

Правильный вариант: бродить по отмели.

Ответ: бродить по отмел...