Буква И пишется в окончании существительного... Варианты: жить в захолусть...; встретиться в театр...; бродить по отмел...; жить при больниц...

Правильный вариант: бродить по отмели.

Существительное «отмель» относится к 3-му склонению. В дательном и предложном падежах единственного числа у существительных 3-го склонения пишется окончание -и: по отмели.

В остальных вариантах пишется буква Е: в захолустье, в театре, при больнице.