Буратино узнал, что если закопать на Поле Чудес несколько монет, то к утру каждая закопанная монета превратится в 2 монеты. Но за это каждое утро надо отдавать по 8 монет лисе Алисе и коту Базилио. Буратино закопал все свои деньги, утром откопал вдвое больше и отдал Алисе и Базилио 8 монет. Так Буратино сделал 3 раза, и на третье утро у него не осталось ни одной монеты. Сколько монет было у Буратино в самом начале?

Решение:

Обозначим количество монет, которое было у Буратино в начале, за \(x\).

Рассмотрим один день:

1. Буратино закопал \(x\) монет.
2. Утром у него стало \(2x\) монет.
3. Он отдал 8 монет, осталось \(2x - 8\) монет.

Рассмотрим три дня:

День 1:

• Закопал: \(x\) монет.
• Утром стало: \(2x\) монет.
• Отдал: 8 монет. Осталось: \(2x - 8\) монет.

День 2:

• Он закопал оставшиеся \(2x - 8\) монеты.
• Утром стало: \(2(2x - 8) = 4x - 16\) монет.
• Отдал: 8 монет. Осталось: \(4x - 16 - 8 = 4x - 24\) монеты.

День 3:

• Он закопал оставшиеся \(4x - 24\) монеты.
• Утром стало: \(2(4x - 24) = 8x - 48\) монет.
• Отдал: 8 монет. Осталось: \(8x - 48 - 8 = 8x - 56\) монет.

По условию, на третье утро у него не осталось ни одной монеты. Значит, \(8x - 56 = 0\).

Решим полученное уравнение:

\[ 8x - 56 = 0 \]

\[ 8x = 56 \]

\[ x = \frac{56}{8} \]

\[ x = 7 \]

Таким образом, в самом начале у Буратино было 7 монет.

Проверка:

День 1: Закопал 7. Утром стало 14. Отдал 8. Осталось 6.

День 2: Закопал 6. Утром стало 12. Отдал 8. Осталось 4.

День 3: Закопал 4. Утром стало 8. Отдал 8. Осталось 0.

Все сходится.

Ответ: 7 монет.