4Б В треугольнике АВС медиана ВМ и высота ВН равны 10 и 8 соответственно, а сторона АС равна 14. Найдите расстояние от точки А до прямой ВМ. Ответ:

Рассмотрим треугольник ABC, где BM - медиана, BH - высота, BM = 10, BH = 8, AC = 14. Нужно найти расстояние от точки A до прямой BM. Обозначим это расстояние как AX, где X - точка на прямой BM, и AX перпендикулярна BM.

1. Сделаем дополнительное построение: продлим медиану BM за точку M на отрезок MD, равный BM. Получим, что BM = MD = 10. Тогда AD = BC, так как AM = MC (BM - медиана), и диагонали четырехугольника ABCD точкой пересечения делятся пополам, следовательно, ABCD - параллелограмм.

2. В параллелограмме ABCD, AD = BC и AB = CD. Пусть AM = MC = AC/2 = 14/2 = 7.

3. Рассмотрим треугольник ABM. В нем известны длины двух сторон BM = 10 и AM = 7, но неизвестен угол между ними. Однако, мы можем использовать свойства параллелограмма для нахождения соотношений.

4. Поскольку ABCD - параллелограмм, то площадь параллелограмма можно найти как удвоенную площадь треугольника ABC, т.е. $$S_{ABCD} = 2 cdot S_{ABC}$$.

5. Площадь треугольника ABC также можно найти как $$S_{ABC} = \frac{1}{2} cdot AC cdot BH = \frac{1}{2} cdot 14 cdot 8 = 56$$.

6. Тогда площадь параллелограмма ABCD будет $$S_{ABCD} = 2 cdot 56 = 112$$.

7. Площадь параллелограмма также можно выразить как произведение высоты на основание, т.е. $$S_{ABCD} = AX cdot BD = AX cdot (BM + MD) = AX cdot (10 + 10) = 20 cdot AX$$.

8. Приравниваем два выражения для площади параллелограмма: $$20 cdot AX = 112$$.

9. Находим AX: $$AX = \frac{112}{20} = \frac{56}{10} = 5.6$$.

Таким образом, расстояние от точки A до прямой BM равно 5.6.

Ответ: 5.6