B-2 Вычислить интеграл a) ∫dx/sin²x 6) ∫ dx/x+ 3 B) f (2x + x³) dx r) f dx/cos²x 2 д) ∫ (x² + 2) dx

a) \(\int \frac{dx}{\sin^2x}\)

Логика такая: Интеграл от \(\frac{1}{\sin^2x}\) это табличный интеграл, равный \(-\cot x\).

\[\int \frac{dx}{\sin^2x} = -\cot x + C\]

б) \(\int \frac{dx}{x^4}\)

Смотри, тут всё просто: Представим \(\frac{1}{x^4}\) как \(x^{-4}\) и используем правило интегрирования степенной функции.

\[\int x^{-4} dx = \frac{x^{-4+1}}{-4+1} + C = \frac{x^{-3}}{-3} + C = -\frac{1}{3x^3} + C\]

в) \(\int (2x + x^3) dx\)

Разбираемся: Интегрируем каждое слагаемое по отдельности.

\[\int (2x + x^3) dx = 2 \int x dx + \int x^3 dx = 2 \cdot \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{4} + C = x^2 + \frac{x^4}{4} + C\]

г) \(\int \frac{dx}{\cos^2x}\)

Смотри, как это работает: Интеграл от \(\frac{1}{\cos^2x}\) это табличный интеграл, равный \(\tan x\).

\[\int \frac{dx}{\cos^2x} = \tan x + C\]

д) \(\int (x^2 + 2) dx\)

Интегрируем каждое слагаемое по отдельности.

\[\int (x^2 + 2) dx = \int x^2 dx + 2 \int dx = \frac{x^3}{3} + 2x + C\]