B 0 ~ C A H ~2 Дано: окр-ть, вписанная в ВАС LOAC = 13° Найти: LOBA и AOC Дамо: оку-ть, вписанних BL BAC B 19 OB=9 см C 0 B ~ A 4 02 C LA=60° Найти: АО Дано: окр-ть, вписанная B LABC BO=4au, DC=2cm Найти: AOC

Задача №1

Дано: Окружность, вписанная в ∠BAC, ∠OAC = 13°

Найти: ∠ОВА и ∠AOC

Решение:

• OC ⊥ AC и OB ⊥ AB, так как радиусы, проведенные в точки касания, перпендикулярны касательным.
• ∠OAC = ∠OAB = 13°, так как AO - биссектриса угла BAC (свойство касательных, проведенных из одной точки).
• ΔAOC = ΔAOB (прямоугольные, AO - общая, OC = OB как радиусы).
• ∠OBA = ∠OCA.

Рассмотрим четырехугольник ABOC. Сумма углов четырехугольника равна 360°.

∠A + ∠B + ∠C + ∠O = 360°

∠B = ∠C = 90°

∠BAC = 13° + 13° = 26°

26° + 90° + 90° + ∠AOC = 360°

∠AOC = 360° - 206° = 154°

∠OBA = 90° - ∠OAB = 90° - 13° = 77°

Ответ: ∠ОВА = 77°, ∠AOC = 154°

Задача №2

Дано: Окружность, вписанная в ∠BAC, OB = 9 см, ∠A = 60°

Найти: AO

Решение:

• ∠BAC = 60°, значит ∠BAO = ∠CAO = 30°, так как AO - биссектриса угла BAC.
• ΔABO - прямоугольный (OB ⊥ AB).
• sin ∠BAO = OB / AO
• sin 30° = 1/2
• 1/2 = 9 / AO
• AO = 18 см

Ответ: AO = 18 см

Задача №3

Дано: Окружность, вписанная в ∠ABC, BO = 4 см, OC = 2 см

Найти: ∠AOC

Решение:

• ∠OBC = α, ∠OCB = β
• ∠ABC = 2α, ∠ACB = 2β

Сумма углов треугольника ABC равна 180°.

2α + 2β + ∠BAC = 180°

2(α + β) + ∠BAC = 180°

Рассмотрим треугольник BOC:

α + β + ∠BOC = 180°

∠BOC = 180° - (α + β)

Сумма углов треугольника ABC: ∠BAC = 180° - 2(α + β)

Сумма углов треугольника AOC:

∠AOC = 180° - (∠OAC + ∠OCA)

Заметим, что ∠BOC - центральный угол, опирающийся на дугу BC, а ∠BAC - вписанный угол, опирающийся на ту же дугу.

∠BOC = 180° - (α + β)

∠BAC = 180° - 2(α + β)

∠BAC = 2∠BOC

Следовательно, ∠BOC = 90° + ∠AOC/2

Поскольку ∠BOC - центральный угол, то он равен дуге BC.

Тогда ∠AOC = 2∠ABC = 2(180 - (α + β)) = 360 - 2(α + β)

Треугольник BOC: BO = 4, OC = 2.

По теореме косинусов:

BC² = BO² + OC² - 2⋅BO⋅OC⋅cos∠BOC

BC² = 4² + 2² - 2⋅4⋅2⋅cos∠BOC

BC² = 20 - 16⋅cos∠BOC

Но это нам ничего не дает.

Решение:

• ∠OBC = α, ∠OCB = β
• ∠ABC = 2α, ∠ACB = 2β
• Сумма углов треугольника ABC: 2α + 2β + ∠BAC = 180°
• Сумма углов треугольника BOC: α + β + ∠BOC = 180°
• ∠BOC = 180° - (α + β)
• ∠BAC = 180° - 2(α + β)
• ∠BAC = 180° - 2(180° - ∠BOC)
• ∠BAC = 2∠BOC - 180°

Угол ∠AOC — центральный угол, опирающийся на дугу AC. Дуга AC = 2∠ABC = 4α.

Угол ∠AOC = 360° - ∠BOC.

Центральный угол ∠BOC = 180° - (α + β).

∠AOC = 360° - 2(α + β).

Нужны дополнительные данные для нахождения угла ∠AOC.

Ответ: Невозможно найти ∠AOC, нужны дополнительные данные.