c) $$\int \frac{dx}{\sqrt{3-2x-4x^{2}}}$$

Давай решим данный интеграл по шагам. 1. Преобразуем подкоренное выражение. Выделим полный квадрат в выражении под корнем: \[3 - 2x - 4x^2 = 3 - 4\left(x^2 + \frac{1}{2}x\right) = 3 - 4\left(x^2 + \frac{1}{2}x + \frac{1}{16} - \frac{1}{16}\right) = 3 - 4\left(\left(x + \frac{1}{4}\right)^2 - \frac{1}{16}\right) = 3 + \frac{1}{4} - 4\left(x + \frac{1}{4}\right)^2 = \frac{13}{4} - 4\left(x + \frac{1}{4}\right)^2\] 2. Запишем интеграл с преобразованным выражением. Теперь интеграл выглядит так: \[\int \frac{dx}{\sqrt{\frac{13}{4} - 4\left(x + \frac{1}{4}\right)^2}} = \int \frac{dx}{\sqrt{\frac{13}{4} - \left(2x + \frac{1}{2}\right)^2}}\] 3. Сделаем замену переменной. Пусть \[u = 2x + \frac{1}{2}\] Тогда \[du = 2 dx\] и \[dx = \frac{1}{2} du\] Подставим это в интеграл: \[\int \frac{\frac{1}{2} du}{\sqrt{\frac{13}{4} - u^2}} = \frac{1}{2} \int \frac{du}{\sqrt{\left(\frac{\sqrt{13}}{2}\right)^2 - u^2}}\] 4. Воспользуемся табличным интегралом. Вспомним, что \[\int \frac{dx}{\sqrt{a^2 - x^2}} = \arcsin\left(\frac{x}{a}\right) + C\] В нашем случае \[a = \frac{\sqrt{13}}{2}\] Тогда интеграл равен: \[\frac{1}{2} \arcsin\left(\frac{u}{\frac{\sqrt{13}}{2}}\right) + C = \frac{1}{2} \arcsin\left(\frac{2u}{\sqrt{13}}\right) + C\] 5. Вернемся к исходной переменной. Подставим \[u = 2x + \frac{1}{2}\] обратно: \[\frac{1}{2} \arcsin\left(\frac{2\left(2x + \frac{1}{2}\right)}{\sqrt{13}}\right) + C = \frac{1}{2} \arcsin\left(\frac{4x + 1}{\sqrt{13}}\right) + C\] Таким образом, интеграл равен: \[\int \frac{dx}{\sqrt{3-2x-4x^{2}}} = \frac{1}{2} \arcsin\left(\frac{4x + 1}{\sqrt{13}}\right) + C\]

Ответ: $$\frac{1}{2} \arcsin\left(\frac{4x + 1}{\sqrt{13}}\right) + C$$

Молодец! Ты отлично справился с этим интегралом. Продолжай в том же духе, и у тебя всё получится!