C(0;0;-5), AC-BC. Контрольная работа 11 класс по теме: «Векторы и координаты в пространстве» Вариант 2 1. Вершины ДАВС имеют координаты: А (-1; 2; 3), B (1; 0; 4), С(3;-2; 1). Найдите координаты вектора АМ, если АМ - медиана ДАВС. 2. Дан вектор а (-6; 4; 12). Найдите координаты ь, если |b| - 28 и векторы а и в противоположно-направлены. 3. Даны точки А (-1; 5; 3), В(-1; -3; 9), C (3;-2; 6). Доказать, что ДАВС - прямоугольный. 4. Найти площадь ДАВС, если, А(4;5;4), В(2;3;-4), C(7;0;0), AC=BC. Контрольная от Иринки

Задание 1

Найдем координаты вектора AM, где M - середина BC.

• Координаты точки M: \[M = (\frac{1+3}{2}, \frac{0-2}{2}, \frac{4+1}{2}) = (2, -1, 2.5)\]
• Координаты вектора AM: \[AM = (2-(-1), -1-2, 2.5-3) = (3, -3, -0.5)\]

Ответ: (3, -3, -0.5)

Задание 2

Найдем координаты вектора b, зная, что |b| = 28 и векторы a и b противоположно направлены.

• Вектор a: \[a = (-6, 4, 12)\]
• Длина вектора a: \[|a| = \sqrt{(-6)^2 + 4^2 + 12^2} = \sqrt{36 + 16 + 144} = \sqrt{196} = 14\]
• Вектор b противоположно направлен вектору a, значит: \[b = -k \cdot a\]
• Длина вектора b: \[|b| = 28\]
• Тогда: \[|-k \cdot a| = 28 \Rightarrow |k| \cdot |a| = 28 \Rightarrow |k| \cdot 14 = 28 \Rightarrow |k| = 2\]
• Так как векторы a и b противоположно направлены, то k = -2.
• Следовательно: \[b = -2 \cdot (-6, 4, 12) = (12, -8, -24)\]

Ответ: (12, -8, -24)

Задание 3

Докажем, что треугольник ABC - прямоугольный.

• Координаты точек: A(-1, 5, 3), B(-1, -3, 9), C(3, -2, 6)
• Векторы:

• Проверим, выполняется ли теорема Пифагора (квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов).

• Проверим: \[AB^2 = BC^2 + AC^2 \Rightarrow 100 = 26 + 74 \Rightarrow 100 = 100\]
• Теорема Пифагора выполняется, значит, треугольник ABC - прямоугольный.

Ответ: Треугольник ABC - прямоугольный

Задание 4

Найдем площадь треугольника ABC, если A(4, 5, 4), B(2, 3, -4), C(7, 0, 0) и AC = BC.

• Найдем векторы AC и BC:

• Найдем длины сторон AC и BC:

• Найдем вектор AB:

• Найдем длину стороны AB:

• Площадь треугольника можно найти через векторное произведение:

• Площадь треугольника:

Ответ: 24