Решение задач C-18

Задача 1

Дано: ΔABC и ΔMPK, AC = MK, ∠A = ∠M = 60°, ∠C = ∠K = 50°.

Найти: Сравнить отрезки AB и PK.

Решение:

1. Рассмотрим ΔABC и ΔMPK. В них:

• AC = MK (по условию)
• ∠A = ∠M = 60° (по условию)
• ∠C = ∠K = 50° (по условию)

2. Найдем ∠B и ∠P:

Сумма углов треугольника равна 180°.

$$∠B = 180° - ∠A - ∠C = 180° - 60° - 50° = 70°$$

$$∠P = 180° - ∠M - ∠K = 180° - 60° - 50° = 70°$$

Следовательно, ∠B = ∠P.

3. ΔABC = ΔMPK по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам). А именно: Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

4. В равных треугольниках соответственные стороны равны. Следовательно, AB = MP.

Ответ: AB = MP

Задача 2

Дано: ΔABC, ∠A = ∠B, CE – биссектриса.

Найти: Сравнить отрезки AE и BE.

Решение:

1. Рассмотрим ΔABC. Так как ∠A = ∠B, то ΔABC – равнобедренный с основанием AB. Значит, AC = BC.

2. Так как CE – биссектриса, то ∠ACE = ∠BCE.

3. Рассмотрим ΔAEC и ΔBEC. В них:

• AC = BC (из пункта 1)
• ∠ACE = ∠BCE (так как CE - биссектриса)
• CE – общая сторона

4. ΔAEC = ΔBEC по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними). А именно: Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

5. В равных треугольниках соответственные стороны равны. Следовательно, AE = BE.

Ответ: AE = BE