C-17 1. На сторонах угла А, равного 45°, отмечены точки В и С, а во внутренней области угла — точка D так, что ∠ABD = 95°, ∠ACD = 90°. Найдите угол BDC. 2. В треугольнике ABC ∠B = 60°. Внутри треугольника отмечена точка О, равноудаленная от его вершин. Докажите, что треугольник АОС является тупоугольным.

1. Рассмотрим четырехугольник ABDC. Сумма углов четырехугольника равна 360°. Значит, ∠BDC = 360° - ∠ABD - ∠ACD - ∠BAC.

∠BDC = 360° - 95° - 90° - 45° = 130°.

Ответ: 130°

2. Дано: треугольник ABC, ∠B = 60°, точка O внутри треугольника, OA = OB = OC.

Доказать: треугольник AOC - тупоугольный.

Доказательство:

Т.к. OA = OB, то треугольник AOB - равнобедренный, и углы при основании равны. Пусть ∠OAB = ∠OBA = x.

Т.к. OB = OC, то треугольник BOC - равнобедренный, и углы при основании равны. Пусть ∠OBC = ∠OCB = y.

Т.к. OA = OC, то треугольник AOC - равнобедренный, и углы при основании равны. Пусть ∠OAC = ∠OCA = z.

Сумма углов треугольника ABC равна 180°. Значит, ∠BAC + ∠ABC + ∠BCA = 180°.

Из условия ∠ABC = 60°, значит, ∠BAC + ∠BCA = 120°.

Выразим углы треугольника ABC через x, y, z: (x + z) + 60° + (y + z) = 180°.

x + y + 2z = 120°.

Сумма углов треугольника AOB равна 180°. Значит, ∠AOB + ∠OAB + ∠OBA = 180°.

∠AOB + x + x = 180°.

∠AOB = 180° - 2x.

Сумма углов треугольника BOC равна 180°. Значит, ∠BOC + ∠OBC + ∠OCB = 180°.

∠BOC + y + y = 180°.

∠BOC = 180° - 2y.

Сумма углов треугольника AOC равна 180°. Значит, ∠AOC + ∠OAC + ∠OCA = 180°.

∠AOC + z + z = 180°.

∠AOC = 180° - 2z.

Сумма углов вокруг точки O равна 360°. Значит, ∠AOB + ∠BOC + ∠AOC = 360°.

(180° - 2x) + (180° - 2y) + (180° - 2z) = 360°.

540° - 2(x + y + z) = 360°.

2(x + y + z) = 180°.

x + y + z = 90°.

Т.к. x + y + 2z = 120°, выразим z: z = 120° - (x + y).

Подставим в уравнение x + y + z = 90°: x + y + 120° - (x + y) = 90°.

120° - z = 90°.

z = 30°.

∠AOC = 180° - 2z = 180° - 2 × 30° = 120°.

Т.к. ∠AOC = 120° > 90°, то треугольник AOC - тупоугольный.

Что и требовалось доказать.