C-35. Оценка значения выражения 1. Известно, что -12 < a < 10. Оцените значение выра- жения: 1) a 2a; б) -5а; в) -а; г); д) a + 5; 2) a) 8-а; б) ; в) ; г) 2а + 1; д) 5-3а. 2. Зная, что 4 <х <5 и -2<y<−1, оцените: a) x + y; б) х – у; B xy; г) 3. Оцените периметр и площадь прямоугольника со сторонами а см и в см, если 4,4 < a < 4,5, 6,3 <b<6,4. 4. Пользуясь тем, что 1,4 <√2 <1,5 и 2,4 <√6 <2,6, оцените: a) 2√2 + √6; б) √12; B) √24 + √2; г) √18+√6. 5. Зная, что 2,5 < a < 2,6 и 2,0 < b <2,1, оцените зна- чение выражения а² + b². 6. Оцените значение выражения: а) 2a + 3b, если 0<a<1 и -5 <b<-4;

Задание 1

Дано: \[-12 < a < 10\]

1. а) \(2a\)

   Умножаем все части неравенства на 2:

   \[-12 \cdot 2 < 2a < 10 \cdot 2\]

   \[-24 < 2a < 20\]

2. б) \(-5a\)

   Умножаем все части неравенства на -5 (знак неравенства меняется):

   \[-12 \cdot (-5) > -5a > 10 \cdot (-5)\]

   \[60 > -5a > -50\]

   Или:

   \[-50 < -5a < 60\]

3. в) \(-a\)

   Умножаем все части неравенства на -1 (знак неравенства меняется):

   \[-12 \cdot (-1) > -a > 10 \cdot (-1)\]

   \[12 > -a > -10\]

   Или:

   \[-10 < -a < 12\]

4. г) \(\frac{a}{4}\)

   Делим все части неравенства на 4:

   \[\frac{-12}{4} < \frac{a}{4} < \frac{10}{4}\]

   \[-3 < \frac{a}{4} < 2.5\]

5. д) \(a + 5\)

   Прибавляем 5 ко всем частям неравенства:

   \[-12 + 5 < a + 5 < 10 + 5\]

   \[-7 < a + 5 < 15\]

Задание 2

Дано: \[4 < x < 5\] и \[-2 < y < -1\]

1. а) \(x + y\)

   Складываем неравенства:

   \[4 + (-2) < x + y < 5 + (-1)\]

   \[2 < x + y < 4\]

2. б) \(x - y\)

   Умножаем второе неравенство на -1 (знак меняется):

   \[2 > -y > 1\]

   Или:

   \[1 < -y < 2\]

   Складываем неравенства:

   \[4 + 1 < x - y < 5 + 2\]

   \[5 < x - y < 7\]

3. в) \(xy\)

   Умножаем неравенства:

   \[4 \cdot (-2) > xy > 5 \cdot (-1)\]

   \[-8 > xy > -5\]

   Или:

   \[-5 < xy < -8\] - неверно! Т.к. -8 < -5, то \[-8 < xy < -5\]

4. г) \(\frac{x}{y}\)

   Т.к. \[-2 < y < -1\] , то \[-1 > \frac{1}{y} > -\frac{1}{2}\]

   Или: \[-\frac{1}{2} < \frac{1}{y} < -1\]

   Умножаем неравенства:

   \[4 \cdot (-\frac{1}{2}) < \frac{x}{y} < 5 \cdot (-1)\]

   \[-2 < \frac{x}{y} < -5\] - неверно! Т.к. -5 < -2, то \[-5 < \frac{x}{y} < -2\]

Задание 3

Дано: \[4.4 < a < 4.5\] и \[6.3 < b < 6.4\]

Периметр прямоугольника: \[P = 2(a + b)\]

Складываем неравенства:

\[4.4 + 6.3 < a + b < 4.5 + 6.4\]

\[10.7 < a + b < 10.9\]

Умножаем на 2:

\[2 \cdot 10.7 < 2(a + b) < 2 \cdot 10.9\]

\[21.4 < P < 21.8\]

Площадь прямоугольника: \[S = a \cdot b\]

Умножаем неравенства:

\[4.4 \cdot 6.3 < a \cdot b < 4.5 \cdot 6.4\]

\[27.72 < S < 28.8\]

Задание 4

Дано: \[1.4 < \sqrt{2} < 1.5\] и \[2.4 < \sqrt{6} < 2.6\]

1. а) \(2\sqrt{2} + \sqrt{6}\)

   Умножаем первое неравенство на 2:

   \[2 \cdot 1.4 < 2\sqrt{2} < 2 \cdot 1.5\]

   \[2.8 < 2\sqrt{2} < 3\]

   Складываем неравенства:

   \[2.8 + 2.4 < 2\sqrt{2} + \sqrt{6} < 3 + 2.6\]

   \[5.2 < 2\sqrt{2} + \sqrt{6} < 5.6\]

2. б) \(\sqrt{12}\)

   \[\sqrt{12} = \sqrt{2 \cdot 6} = \sqrt{2} \cdot \sqrt{6}\]

   Умножаем неравенства:

   \[1.4 \cdot 2.4 < \sqrt{2} \cdot \sqrt{6} < 1.5 \cdot 2.6\]

   \[3.36 < \sqrt{12} < 3.9\]

3. в) \(\sqrt{24} + \sqrt{2}\)

   \[\sqrt{24} = \sqrt{4 \cdot 6} = 2\sqrt{6}\]

   \[\sqrt{24} + \sqrt{2} = 2\sqrt{6} + \sqrt{2}\]

   Умножаем второе неравенство на 2:

   \[2 \cdot 2.4 < 2\sqrt{6} < 2 \cdot 2.6\]

   \[4.8 < 2\sqrt{6} < 5.2\]

   Складываем неравенства:

   \[4.8 + 1.4 < 2\sqrt{6} + \sqrt{2} < 5.2 + 1.5\]

   \[6.2 < \sqrt{24} + \sqrt{2} < 6.7\]

4. г) \(\sqrt{18} + \sqrt{6}\)

   \[\sqrt{18} = \sqrt{3 \cdot 6} = \sqrt{3} \cdot \sqrt{6}\]

   \[\sqrt{18} + \sqrt{6} = \sqrt{3} \cdot \sqrt{6} + \sqrt{6} = \sqrt{6}(\sqrt{3} + 1)\]

   Т.к. \[1.7 < \sqrt{3} < 1.8\] , то \[2.7 < \sqrt{3} + 1 < 2.8\]

   Умножаем неравенства:

   \[2.4 \cdot 2.7 < \sqrt{6}(\sqrt{3} + 1) < 2.6 \cdot 2.8\]

   \[6.48 < \sqrt{18} + \sqrt{6} < 7.28\]

Задание 5

Дано: \[2.5 < a < 2.6\] и \[2.0 < b < 2.1\]

Возводим в квадрат первое неравенство:

\[2.5^2 < a^2 < 2.6^2\]

\[6.25 < a^2 < 6.76\]

Возводим в квадрат второе неравенство:

\[2.0^2 < b^2 < 2.1^2\]

\[4 < b^2 < 4.41\]

Складываем неравенства:

\[6.25 + 4 < a^2 + b^2 < 6.76 + 4.41\]

\[10.25 < a^2 + b^2 < 11.17\]

Задание 6

а) Дано: \[0 < a < 1\] и \[-5 < b < -4\]

Умножаем первое неравенство на 2:

\[0 \cdot 2 < 2a < 1 \cdot 2\]

\[0 < 2a < 2\]

Умножаем второе неравенство на 3:

\[-5 \cdot 3 < 3b < -4 \cdot 3\]

\[-15 < 3b < -12\]

Складываем неравенства:

\[0 + (-15) < 2a + 3b < 2 + (-12)\]

\[-15 < 2a + 3b < -10\]