C1. Биссектриса угла при основании равнобедренного треугольника равна основанию треугольника. Определите угол при основании.

Пусть в равнобедренном треугольнике угол при основании равен \(\alpha\), основание равно \(a\), а боковые стороны равны \(b\). Биссектриса угла при основании делит треугольник на два треугольника. По теореме о длине биссектрисы:

\[l=\frac{2ab\cos(\alpha/2)}{a+b}.\]

По условию \(l=a\). Обозначим \(x=b/a\). Тогда

\[1=\frac{2x\cos(\alpha/2)}{1+x}.\]

Так как по теореме синусов \(x=\frac{b}{a}=\frac{\sin\alpha}{\sin(180^\circ-2\alpha)}=\frac{1}{2\cos\alpha}\), получаем:

\[1=\frac{2\cos(\alpha/2)}{2\cos\alpha+1}.\]

Следовательно, \(2\cos(\alpha/2)=2\cos\alpha+1\). Используя \(\cos\alpha=2\cos^2(\alpha/2)-1\), обозначим \(t=\cos(\alpha/2)\):

\[2t=4t^2-1,\qquad 4t^2-2t-1=0.\]

Отсюда \(t=\frac{1+\sqrt5}{4}=\cos36^\circ\), поэтому \(\alpha/2=36^\circ\).

Ответ: \(72^\circ\).