C1. Докажите тождество: \(\frac{3}{a^2-3a}-\frac{a^2}{3-a}=a+3+\frac{9a+3}{a^2-3a}\).

Область допустимых значений: \(a\ne0\) и \(a\ne3\), поскольку знаменатели не должны обращаться в ноль.

1. Разложим знаменатель: \(a^2-3a=a(a-3)\), а \(3-a=-(a-3)\). Поэтому \(-\frac{a^2}{3-a}=\frac{a^2}{a-3}=\frac{a^3}{a(a-3)}\).

2. Сложим дроби в левой части: \(\frac{3}{a(a-3)}+\frac{a^3}{a(a-3)}=\frac{a^3+3}{a(a-3)}\).

3. Преобразуем правую часть к той же дроби: \(a+3+\frac{9a+3}{a(a-3)}=\frac{(a+3)a(a-3)+9a+3}{a(a-3)}=\frac{a^3-9a+9a+3}{a(a-3)}=\frac{a^3+3}{a(a-3)}\).

Левая и правая части равны при всех допустимых значениях \(a\).