C1. Исследуйте функцию с помощью производной и постройте эскиз графика y=x³ +6x² +9x

Решение:

Для исследования функции \( y = x^3 + 6x^2 + 9x \) найдём её производную.

1. Найдём первую производную:
   \( y' = (x^3 + 6x^2 + 9x)' = 3x^2 + 12x + 9 \)
2. Найдём критические точки:
   Приравняем производную к нулю:
   \( 3x^2 + 12x + 9 = 0 \)
   Разделим на 3:
   \( x^2 + 4x + 3 = 0 \)
   Решим квадратное уравнение (дискриминант \( D = 4^2 - 4 · 1 · 3 = 16 - 12 = 4 \)):
   \( x_1 = \frac{-4 + \sqrt{4}}{2} = \frac{-4 + 2}{2} = -1 \)
   \( x_2 = \frac{-4 - \sqrt{4}}{2} = \frac{-4 - 2}{2} = -3 \)
3. Определим знаки производной и интервалы монотонности:
   
   • На интервале \( (-∞, -3) \): Возьмём \( x = -4 \), \( y'(-4) = 3(-4)^2 + 12(-4) + 9 = 3(16) - 48 + 9 = 48 - 48 + 9 = 9 > 0 \). Функция возрастает.
   • На интервале \( (-3, -1) \): Возьмём \( x = -2 \), \( y'(-2) = 3(-2)^2 + 12(-2) + 9 = 3(4) - 24 + 9 = 12 - 24 + 9 = -3 < 0 \). Функция убывает.
   • На интервале \( (-1, +∞) \): Возьмём \( x = 0 \), \( y'(0) = 3(0)^2 + 12(0) + 9 = 9 > 0 \). Функция возрастает.
4. Определим точки экстремума:
   В точке \( x = -3 \) производная меняет знак с \( + \) на \( - \), значит, это точка максимума.
   \( y(-3) = (-3)^3 + 6(-3)^2 + 9(-3) = -27 + 6(9) - 27 = -27 + 54 - 27 = 0 \). Точка максимума: \( (-3, 0) \>.
   В точке \( x = -1 \) производная меняет знак с \( - \) на \( + \), значит, это точка минимума.
   \( y(-1) = (-1)^3 + 6(-1)^2 + 9(-1) = -1 + 6(1) - 9 = -1 + 6 - 9 = -4 \). Точка минимума: \( (-1, -4) \>.
   
5. Найдём точки пересечения с осями:
   
   • С осью Y (при \( x = 0 \)): \( y = 0^3 + 6(0)^2 + 9(0) = 0 \). Точка \( (0, 0) \>.
   • С осью X (при \( y = 0 \)): \( x^3 + 6x^2 + 9x = 0 \)
     \( x(x^2 + 6x + 9) = 0 \)
     \( x(x+3)^2 = 0 \)
     Получаем \( x=0 \) и \( x=-3 \) (точка касания).

Эскиз графика:

Функция возрастает на \( (-∞, -3) \), убывает на \( (-3, -1) \), возрастает на \( (-1, +∞) \>. Имеет максимум в точке \( (-3, 0) \) и минимум в точке \( (-1, -4) \>. График проходит через начало координат \( (0, 0) \) и касается оси X в точке \( (-3, 0) \>.