C1. Окружность касается сторон АВ, ВС, АС треугольника АВС в точках М, N, K соответственно. Найдите градусную меру дуги МК, если ∠ABC = 62°, ∠ACB = 68°. С2. Точка С делит хорду АВ на отрезки 12 см и 16 см. Найдите диаметр окружности, если расстояние от точки С до центра окружности равно 8 см.

Решение задачи C1:

Сначала найдем угол A в треугольнике ABC:

\[ \angle A = 180° - \angle ABC - \angle ACB \]

\[ \angle A = 180° - 62° - 68° = 180° - 130° = 50° \]

Так как окружность касается сторон треугольника, то M — точка касания со стороной AB, N — со стороной BC, и K — со стороной AC.

Центр окружности, вписанной в треугольник, находится на пересечении биссектрис. Однако, в данной задаче окружность касается сторон, что подразумевает вписанную окружность.

Градусная мера дуги, заключенной между точками касания, связана с углом треугольника, противолежащим стороне, которая не касается этой дуги. В данном случае, дуга MK опирается на вершину B.

Угол B (∠ABC) равен 62°. Центральный угол, опирающийся на дугу MK, равен удвоенному углу A, если бы окружность проходила через вершины, но здесь речь о касании.

Для вписанной окружности, точки касания делят стороны. Связь между углом треугольника и дугой определяется через центр вписанной окружности (инцентр). Однако, задача формулируется как "окружность касается сторон", что может подразумевать как вписанную, так и вневписанную окружность, или даже просто окружность, касательную к сторонам.

Предполагая, что речь идет о вписанной окружности:

Углы, образованные биссектрисами и точками касания, связаны с углами треугольника.

Рассмотрим центр вписанной окружности O. Пусть IM и IK — радиусы, проведенные к точкам касания M на AB и K на AC. Тогда ∠IMO = ∠IKO = 90°.

В четырехугольнике AMOK, сумма углов равна 360°. Угол ∠MAK равен ∠A = 50°.

\[ \angle MOK = 360° - \angle AMK - \angle AKM - \angle A \]

Углы ∠AMK и ∠AKM здесь не равны 90°, так как M и K — точки касания.

Правильное соотношение для вписанной окружности: центральный угол, опирающийся на дугу, образованную точками касания двух сторон, равен 180° минус угол треугольника между этими сторонами.

Таким образом, градусная мера дуги MK, если M на AB и K на AC, равна:

\[ ext{arc}(MK) = 180° - \angle A \]

\[ ext{arc}(MK) = 180° - 50° = 130° \]

Решение задачи C2:

Пусть AB — хорда, которую точка C делит на отрезки длиной 12 см и 16 см. Это означает, что длина хорды AB = 12 + 16 = 28 см.

Предположим, что точка C находится на хорде AB. Однако, условие "Точка С делит хорду АВ на отрезки 12 см и 16 см" и "расстояние от точки С до центра окружности равно 8 см" указывает, что C — это точка, через которую проходит хорда, и она делит эту хорду.

Рассмотрим случай, когда C — это точка на хорде. Пусть AB — хорда. C — точка на хорде. Тогда длина хорды AB может быть 12+16 = 28 см, если C находится между двумя частями.

Другая интерпретация: C — это точка, через которую проходит хорда, и она делит некоторую другую хорду (или диаметр) AB. Но по тексту "Точка С делит хорду АВ", скорее всего, C лежит на самой хорде AB.

Если C — точка на хорде AB, и хорда AB состоит из отрезков 12 см и 16 см, то C — это либо конец хорды, либо точка внутри нее.

Наиболее вероятная интерпретация: AB — это хорда, а точка C лежит на этой хорде, деля ее на отрезки AC = 12 см и CB = 16 см (или наоборот). Тогда длина хорды AB = 12 + 16 = 28 см.

Пусть O — центр окружности, R — радиус. Расстояние от C до O равно 8 см. То есть, OC = 8 см.

Проведем перпендикуляр из центра O к хорде AB. Пусть этот перпендикуляр пересекает AB в точке D. Этот перпендикуляр делит хорду пополам. То есть, AD = DB = AB/2 = 28/2 = 14 см.

Теперь рассмотрим положение точки C на хорде AB. Если AC = 12 см и CB = 16 см, то точка C находится не посередине хорды.

Пусть D — середина хорды AB. Тогда AD = DB = 14 см.

Если C делит хорду на 12 и 16, то C находится на расстоянии 14 см от D. Например, если A — начало хорды, то C находится на 12 см от A, а D — на 14 см от A. Значит, CD = |14 - 12| = 2 см.

Теперь у нас есть прямоугольный треугольник ODC, где OC = 8 см (гипотенуза), CD = 2 см (катет), и OD (другой катет) — это расстояние от центра до хорды.

\[ OD^2 + CD^2 = OC^2 \]

\[ OD^2 + 2^2 = 8^2 \]

\[ OD^2 + 4 = 64 \]

\[ OD^2 = 60 \]

\[ OD = \sqrt{60} = 2\sqrt{15} ext{ см} \]

Теперь найдем радиус R. Радиус R — это гипотенуза в прямоугольном треугольнике, образованном центром O, серединой хорды D, и концом хорды (например, A).

\[ R^2 = OD^2 + AD^2 \]

\[ R^2 = 60 + 14^2 \]

\[ R^2 = 60 + 196 \]

\[ R^2 = 256 \]

\[ R = \sqrt{256} = 16 ext{ см} \]

Диаметр окружности равен 2R.

\[ D = 2 \times 16 = 32 ext{ см} \]

Ответ:

C1: 130°

C2: 32 см