C1. Запишите выражение \(\frac{(a^{-2} + 3ab)^2}{a^{-3} + 3a^{-2}b^{-2}}\), в виде несократимой дроби без степеней с отрицательным показателем.

Решение:

• Шаг 1: Преобразуем числитель.
• Возведем выражение в квадрате: \((a^{-2} + 3ab)^2 = (a^{-2})^2 + 2 \cdot a^{-2} \cdot 3ab + (3ab)^2\).
• \((a^{-2})^2 = a^{-4}\).
• \(2 \cdot a^{-2} \cdot 3ab = 6 a^{-2+1} b = 6a^{-1}b\).
• \((3ab)^2 = 9a^2b^2\).
• Таким образом, числитель равен: \(a^{-4} + 6a^{-1}b + 9a^2b^2\).
• Шаг 2: Преобразуем знаменатель.
• Запишем отрицательные степени как дроби: \(a^{-3} = \frac{1}{a^3}\) и \(b^{-2} = \frac{1}{b^2}\).
• Знаменатель: \(\frac{1}{a^3} + 3a^{-2}\).
• Приведем к общему знаменателю \(a^3\): \(\frac{1}{a^3} + \frac{3a^{-2} \cdot a^3}{a^3} = \frac{1 + 3a^{(-2+3)}}{a^3} = \frac{1 + 3a}{a^3}\).
• Шаг 3: Объединяем числитель и знаменатель.
• Теперь дробь выглядит так: \(\frac{a^{-4} + 6a^{-1}b + 9a^2b^2}{\frac{1 + 3a}{a^3}}\).
• Деление на дробь равно умножению на обратную дробь: \((a^{-4} + 6a^{-1}b + 9a^2b^2) \cdot \frac{a^3}{1 + 3a}\).
• Преобразуем члены в числителе, избавившись от отрицательных степеней: \(a^{-4} = \frac{1}{a^4}\), \(a^{-1} = \frac{1}{a}\).
• Выражение в скобках: \(\frac{1}{a^4} + \frac{6b}{a} + 9a^2b^2\).
• Приведем это к общему знаменателю \(a^4\): \(\frac{1 + 6ba^3 + 9a^6b^2}{a^4}\).
• Умножаем на \(\frac{a^3}{1 + 3a}\): \(\frac{(1 + 6ba^3 + 9a^6b^2)}{a^4} \cdot \frac{a^3}{1 + 3a} = \frac{1 + 6a^3b + 9a^6b^2}{a(1 + 3a)}\.
• Шаг 4: Анализ и упрощение.
• Рассмотрим числитель \(1 + 6a^3b + 9a^6b^2\). Если предположить, что \(a^{-2} + 3ab\) в числителе изначально было \((\frac{1}{a^2} + 3ab)^2\), то:
• \((\frac{1}{a^2} + 3ab)^2 = (\frac{1}{a^2})^2 + 2 \cdot \frac{1}{a^2} \cdot 3ab + (3ab)^2 = \frac{1}{a^4} + \frac{6b}{a} + 9a^2b^2\).
• Приведя к общему знаменателю \(a^4\), получим \(\frac{1 + 6a^3b + 9a^6b^2}{a^4}\).
• Знаменатель: \(\frac{1}{a^3} + \frac{3}{a^2b^2}\).
• Приведем к общему знаменателю \(a^3b^2\): \(\frac{b^2 + 3a}{a^3b^2}\).
• Теперь вся дробь: \(\frac{\frac{1 + 6a^3b + 9a^6b^2}{a^4}}{\frac{b^2 + 3a}{a^3b^2}} = \frac{1 + 6a^3b + 9a^6b^2}{a^4} \cdot \frac{a^3b^2}{b^2 + 3a} = \frac{b^2(1 + 6a^3b + 9a^6b^2)}{a(b^2 + 3a)}\.
• Пересматриваем условие: выражение \((a^{-2} + 3ab)^2\) в числителе и \(a^{-3} + 3a^{-2}b^{-2}\) в знаменателе.
• Числитель: \((a^{-2} + 3ab)^2 = (\frac{1}{a^2} + 3ab)^2 = \frac{1}{a^4} + 2 \cdot \frac{1}{a^2} \cdot 3ab + (3ab)^2 = \frac{1}{a^4} + \frac{6b}{a} + 9a^2b^2\).
• Приведем к общему знаменателю \(a^4\): \(\frac{1 + 6a^3b + 9a^6b^2}{a^4}\).
• Знаменатель: \(a^{-3} + 3a^{-2}b^{-2} = \frac{1}{a^3} + \frac{3}{a^2b^2}\).
• Приведем к общему знаменателю \(a^3b^2\): \(\frac{b^2 + 3a}{a^3b^2}\).
• Делим числитель на знаменатель: \(\frac{\frac{1 + 6a^3b + 9a^6b^2}{a^4}}{\frac{b^2 + 3a}{a^3b^2}} = \frac{1 + 6a^3b + 9a^6b^2}{a^4} \cdot \frac{a^3b^2}{b^2 + 3a}\).
• Упрощаем: \(\frac{b^2(1 + 6a^3b + 9a^6b^2)}{a(b^2 + 3a)}\).
• Возможная ошибка в интерпретации: если \(3a^{-2}b^{-2}\) это \(3 \cdot a^{-2} \cdot b^{-2}\).
• Повторная попытка с учетом возможного упрощения в исходном выражении:
• Числитель: \((a^{-2} + 3ab)^2\).
• Знаменатель: \(a^{-3} + 3a^{-2}b^{-2} = \frac{1}{a^3} + \frac{3}{a^2b^2}\).
• Приведем к общему знаменателю \(a^3b^2\): \(\frac{b^2 + 3a}{a^3b^2}\).
• Числитель: \((\frac{1}{a^2} + 3ab)^2 = (\frac{1 + 3a^3b}{a^2})^2 = \frac{(1 + 3a^3b)^2}{a^4}\).
• Теперь дробь: \(\frac{\frac{(1 + 3a^3b)^2}{a^4}}{\frac{b^2 + 3a}{a^3b^2}} = \frac{(1 + 3a^3b)^2}{a^4} \cdot \frac{a^3b^2}{b^2 + 3a} = \frac{b^2(1 + 3a^3b)^2}{a(b^2 + 3a)}\.
• Проверим, если знаменатель = \(a^{-3} + 3a^{-2}b^{-2}\) = \(\frac{1}{a^3} + \frac{3}{a^2b^2}\) = \(\frac{b^2+3a}{a^3b^2}\).
• Числитель = \((a^{-2} + 3ab)^2\) = \((\frac{1}{a^2} + 3ab)^2\) = \(\frac{1}{a^4} + \frac{6b}{a} + 9a^2b^2\).
• Приведем числитель к общему знаменателю \(a^4\): \(\frac{1 + 6a^3b + 9a^6b^2}{a^4}\).
• Вся дробь: \(\frac{1 + 6a^3b + 9a^6b^2}{a^4} \div \frac{b^2 + 3a}{a^3b^2} = \frac{1 + 6a^3b + 9a^6b^2}{a^4} \times \frac{a^3b^2}{b^2 + 3a} = \frac{b^2(1 + 6a^3b + 9a^6b^2)}{a(b^2 + 3a)}\.
• Если посмотреть на числитель \((a^{-2} + 3ab)^2\) как на \((a^{-2}(1 + 3a^3b))^2 = a^{-4}(1 + 3a^3b)^2\).
• Тогда числитель = \(\frac{(1 + 3a^3b)^2}{a^4}\).
• Знаменатель = \(\frac{b^2 + 3a}{a^3b^2}\).
• Дробь = \(\frac{(1 + 3a^3b)^2}{a^4} \cdot \frac{a^3b^2}{b^2 + 3a} = \frac{b^2 (1 + 3a^3b)^2}{a(b^2 + 3a)}\.
• Пересматриваем условие, возможно, что-то проще.
• Числитель: \((a^{-2} + 3ab)^2 = (\frac{1}{a^2} + 3ab)^2\).
• Знаменатель: \(a^{-3} + 3a^{-2}b^{-2} = \frac{1}{a^3} + \frac{3}{a^2b^2}\).
• Приведем числитель к общему знаменателю: \((\frac{1 + 3a^3b}{a^2})^2 = \frac{(1 + 3a^3b)^2}{a^4}\).
• Приведем знаменатель к общему знаменателю: \(\frac{b^2 + 3a}{a^3b^2}\).
• Делим: \(\frac{(1 + 3a^3b)^2}{a^4} / \frac{b^2 + 3a}{a^3b^2} = \frac{(1 + 3a^3b)^2}{a^4} \cdot \frac{a^3b^2}{b^2 + 3a} = \frac{b^2(1 + 3a^3b)^2}{a(b^2 + 3a)}\.
• Раскроем квадрат в числителе: \((1 + 3a^3b)^2 = 1 + 6a^3b + 9a^6b^2\).
• Итого: \(\frac{b^2(1 + 6a^3b + 9a^6b^2)}{a(b^2 + 3a)}\.
• Проверяем, есть ли общие множители. В данном виде выражение не сокращается.
• Итоговый ответ: \(\frac{b^2(1 + 3a^3b)^2}{a(b^2 + 3a)}\).

Ответ: rac{b^2(1 + 3a^3b)^2}{a(b^2 + 3a)}