C2. ABCD — трапеция, в которой ∠A = 90°, ∠BCA = 45°, ∠ACD = 90°, AC = a. Найдите величины |CB⃗ − CA⃗ + CD⃗| и |CB⃗| − |CA⃗| + |CD⃗|.

Поскольку в трапеции BC ∥ AD, из ∠A = 90° следует, что AB ⟂ BC. Значит, треугольник ABC прямоугольный при B. При ∠BCA = 45° его второй острый угол также равен 45°, поэтому AB = BC = a/√2.

Так как ∠ACD = 90°, а AC образует угол 45° с горизонтальным основанием AD, отрезок CD также образует с основанием угол 45°. В прямоугольном треугольнике ACD угол при D равен 45°, поэтому CD = AC = a.

Выберем координаты A(0; 0), B(0; a/√2), C(a/√2; a/√2), D(√2a; 0). Тогда CB⃗ = (−a/√2; 0), CA⃗ = (−a/√2; −a/√2), CD⃗ = (a/√2; −a/√2).

1. Первая величина: CB⃗ − CA⃗ + CD⃗ = (a/√2; a/√2) = AC⃗, поэтому |CB⃗ − CA⃗ + CD⃗| = a.
2. Во второй величине подставим длины: |CB⃗| − |CA⃗| + |CD⃗| = a/√2 − a + a = a/√2.

Ответ: a и a/√2 соответственно.