C2. Упростите выражение \(\dfrac{\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y}}{x^{2/3}-\sqrt[3]{xy}+y^{2/3}}-\dfrac{\sqrt[3]{x}-\sqrt[3]{y}}{\sqrt[3]{x^2}-\sqrt[3]{y^2}}\).

Question

Вопрос:

C2. Упростите выражение \(\dfrac{\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y}}{x^{2/3}-\sqrt[3]{xy}+y^{2/3}}-\dfrac{\sqrt[3]{x}-\sqrt[3]{y}}{\sqrt[3]{x^2}-\sqrt[3]{y^2}}\).

Accepted Answer

Обозначим \(a=\sqrt[3]{x}\), \(b=\sqrt[3]{y}\). Тогда \(x^{2/3}=a^2\), \(y^{2/3}=b^2\), \(\sqrt[3]{xy}=ab\), а \(\sqrt[3]{x^2}-\sqrt[3]{y^2}=a^2-b^2\).

Первую дробь оставим в виде \(\dfrac{a+b}{a^2-ab+b^2}\). Во второй дроби разложим знаменатель по формуле разности квадратов:

\(\dfrac{a-b}{a^2-b^2}=\dfrac{a-b}{(a-b)(a+b)}=\dfrac{1}{a+b}\).

Вычтем дроби, приведя их к общему знаменателю:

\(\dfrac{a+b}{a^2-ab+b^2}-\dfrac{1}{a+b}=\dfrac{(a+b)^2-(a^2-ab+b^2)}{(a^2-ab+b^2)(a+b)}=\dfrac{3ab}{(a^2-ab+b^2)(a+b)}\).

Возвращаемся к исходным переменным: \(ab=\sqrt[3]{xy}\), \(a+b=\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y}\).

Ответ: \(\dfrac{3\sqrt[3]{xy}}{(x^{2/3}-\sqrt[3]{xy}+y^{2/3})(\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y})}\).