CA₁=?

Рассмотрим треугольник АВС. ∠В смежный с углом 150°, значит ∠В = 180°-150°=30°.

Так как АА₁ – биссектриса, то ∠А₁АВ = ∠САВ/2.

Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°, значит, ∠САВ = 90°-30°=60°.

∠А₁АВ = 60°/2 = 30°.

Рассмотрим треугольник А₁АВ: ∠А₁АВ = ∠АВА₁ = 30°, значит, треугольник А₁АВ равнобедренный, А₁В = АА₁ = 20.

Рассмотрим треугольник А₁ВС. ∠А₁ВС = 30°, А₁В = 20.

$$CA_1 = A_1B \cdot tg(30^{\circ}) = 20 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{20\sqrt{3}}{3}$$.

Ответ: $$\frac{20\sqrt{3}}{3}$$