CA-14. TEOPEMA O TPEX PERPENDIKULYARAKH. UGOL MEZHDU PRYAMOY I PLOSKOST'YU Variant A1 1 V treugol'nike ABC AB = BC = = 10 sm, AC = 12 sm. Cherez tochku V k ploskosti treugol'nika proveden perpendikulyar BD dlinoy 15 sm. a) Ukazhite proektsiyu treugol'nika DAC na ploskost' ABC. b) Naydite rasstoyanie ot tochki D do pryamoy AC. 2 Diagonaliz kvadrat ABCD peresekayutsya v tochke O. Ot- rezok SO - perpendikulyar k ploskosti kvadrata, SO = = 4√2 sm. a) Dokazhite ravenstvo uglov, obrazuemykh pryamymi SA, SB, SC i SD s ploskost'yu kvadrat a. b) Naydite eti ugly, esli pe- rimetr ABCD raven 32 sm. 3 Vershiny A i D parallelolog- ramma ABCD lezhat v ploskos- ti c. Dokazhite, chto pryamye VA i CD obrazuyut s ploskost'- yu c ravnye ugly. Variant A2 1 Otrezok KA dlinoy 3 sm - perpendikulyar k ploskosti romba ABCD, v kotorom AB = = 5 sm, BD = 6 sm. a) Ukazhite proektsiyu treu- gol'nika KBC na ploskost' romba. b) Naydite rasstoyanie ot toch- ki K do pryamoy BD. 2 Diagonaliz kvadrat ABCD pe- resekavutsya v tochke O. Otrezok SO - perpendikulyar k plos- kosti kvadrata, SO = 4 sm. Tochki K, L, M, N - serediny storon kvadrata. a) Dokazhite ravenstvo uglov, obrazuemykh pryamymi SK, SL, SM i SN s ploskost'yu kvad- rata. b) Naydite eti ugly, esli ploshchad' ABCD ravna 64 sm². 3 Vershiny A i V pryamougol'- nika ABCD lezhat v ploskosti a. Dokazhite, chto pryamye SA i DB obrazuyut s ploskost'yu a ravnye ugly.

Вариант А1

1.

1. а) Проекцией треугольника DAC на плоскость ABC является треугольник ABC, так как точка D проецируется в точку B, а точки A и C лежат в плоскости ABC.
2. б) В треугольнике ABC AB = BC = 10 см, AC = 12 см. BD - высота, проведенная к плоскости ABC. Точка D проецируется в B. Расстояние от точки D до прямой AC равно расстоянию от точки B до прямой AC. В равнобедренном треугольнике ABC проведем высоту BH к основанию AC. BH = \( \sqrt{AB^2 - AH^2} = \sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8 \) см. Расстояние от точки D до прямой AC равно 8 см.

2.

1. а) Углы \( \angle SAB \), \( \angle SBC \), \( \angle SCD \), \( \angle SDA \) равны, так как SA = SB = SC = SD (по теореме о трех перпендикулярах, если из одной точки, проведенной из вершины квадрата, проведены перпендикуляры к сторонам, то они равны).
2. б) Периметр квадрата ABCD равен 32 см, значит, сторона квадрата равна \( 32 \text{ см} / 4 = 8 \) см. \( SO = 4 \sqrt{2} \) см. В прямоугольном треугольнике SOC: \( SC = \sqrt{SO^2 + OC^2} \). Диагонали квадрата пересекаются в точке О, \( OC = \frac{1}{2}AC \). \( AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{8^2 + 8^2} = \sqrt{128} = 8\sqrt{2} \) см. \( OC = 4\sqrt{2} \) см. \( SC = \sqrt{(4\sqrt{2})^2 + (4\sqrt{2})^2} = \sqrt{32 + 32} = \sqrt{64} = 8 \) см. \( \text{tg}(\angle SCO) = \frac{SO}{OC} = \frac{4\sqrt{2}}{4\sqrt{2}} = 1 \). \( \angle SCO = 45^{\circ} \).

3.

Вершины A и D параллелограмма ABCD лежат в плоскости \(\alpha\). Прямая BA и CD перпендикулярны к плоскости, так как они перпендикулярны двум пересекающимся прямым в плоскости \(\alpha\) (AD и BC, если ABCD - прямоугольник, или если AD и BC являются проекциями BA и CD на плоскость).

Вариант А2

1.

1. а) Проекцией треугольника KBC на плоскость ромба ABCD является треугольник K'BC, где K' - проекция точки K на плоскость ABCD. Так как KA перпендикулярно плоскости ромба, точка A является проекцией точки K. Следовательно, проекция треугольника KBC на плоскость ромба - это треугольник ABC.
2. б) В ромбе ABCD AB = 5 см, BD = 6 см. Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и делятся пополам. \( BO = OD = 3 \) см. \( AO = OC = \sqrt{AB^2 - BO^2} = \sqrt{5^2 - 3^2} = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4 \) см. \( AC = 8 \) см. Треугольник KBD - прямоугольный, так как KA перпендикулярно плоскости ромба. Расстояние от точки K до прямой BD равно KA = 3 см.

2.

1. а) Углы \( \angle SKA \), \( \angle SLB \), \( \angle SMC \), \( \angle SND \) равны, так как SO - перпендикуляр к плоскости квадрата, а SK, SL, SM, SN - наклонные к плоскости. Отрезки OK, OL, OM, ON равны, так как K, L, M, N - середины сторон квадрата, и O - центр квадрата, следовательно, OK = OL = OM = ON. По теореме о трех перпендикулярах, если SK, SL, SM, SN образуют равные углы с плоскостью, то они равны.
2. б) Площадь квадрата ABCD равна 64 см², значит, сторона квадрата равна \( \sqrt{64} = 8 \) см. \( SO = 4 \) см. \( OK = OL = OM = ON = \frac{1}{2} \text{стороны} = \frac{1}{2} \times 8 = 4 \) см. В прямоугольном треугольнике SOK: \( SK = \sqrt{SO^2 + OK^2} = \sqrt{4^2 + 4^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2} \) см. \( \text{tg}(\angle SKO) = \frac{SO}{OK} = \frac{4}{4} = 1 \). \( \angle SKO = 45^{\circ} \).

3.

Вершины A и B прямоугольника ABCD лежат в плоскости \(\alpha\). Прямая SA перпендикулярна плоскости \(\alpha\), так как SA перпендикулярно AB и AS перпендикулярно AD (так как ABCD - прямоугольник). Аналогично, прямая DB перпендикулярна плоскости \(\alpha\).