CA-14. ТЕОРЕМА О ТРЕХ ПЕРПЕНДИКУЛЯРАХ. УГОЛ МЕЖДУ ПРЯМОЙ Ии плоскостью Вариант А1 1 В треугольнике АВС АВ = BC = = 10 см, АС = 12 см. Через точ- ку В к плоскости треугольни- ка проведен перпендикуляр BD длиной 15 см. а) Укажите проекцию треу- гольника DAC на плоскость ABC. б) Найдите расстояние от точ- ки Д до прямой АС. 2 Диагонали квадрата АBCD пересекаются в точке О. От- резок SO перпендикуляр к плоскости квадрата, SO = = 4√2 см. а) Докажите равенство углов, образуемых прямыми SA, SB, SC и SD с плоскостью квад- рата. б) Найдите эти углы, если пе- риметр ABCD равен 32 см. 3 Вершины А и D параллелог- рамма ABCD лежат в плоскос- ти а. Докажите, что прямые ВА и CD образуют с плоскос- тью с равные углы.

Давай разберем по порядку задачи по геометрии.

Вариант A1

1

а) Проекцией точки D на плоскость ABC является точка B, так как BD перпендикулярна плоскости ABC. Следовательно, проекцией треугольника DAC на плоскость ABC является треугольник BAC.

б) Сначала найдем высоту BE в треугольнике ABC, опущенную на сторону AC. Так как треугольник ABC равнобедренный (AB = BC), высота BE является также и медианой. Значит, AE = EC = AC / 2 = 12 / 2 = 6 см.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник ABE. По теореме Пифагора:

\[BE = \sqrt{AB^2 - AE^2} = \sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8 \text{ см}.\]

Рассмотрим треугольник BDE, где BD перпендикулярна плоскости ABC, следовательно, BD перпендикулярна BE. Тогда треугольник BDE - прямоугольный. Расстояние от точки D до прямой AC - это длина отрезка DE. По теореме Пифагора:

\[DE = \sqrt{BD^2 + BE^2} = \sqrt{15^2 + 8^2} = \sqrt{225 + 64} = \sqrt{289} = 17 \text{ см}.\]

2

а) Так как ABCD - квадрат, то диагонали AC и BD равны и в точке пересечения O делятся пополам. SO перпендикулярна плоскости квадрата, следовательно, треугольники SOA, SOB, SOC и SOD - прямоугольные и равны, так как SO - общий катет, а OA = OB = OC = OD. Следовательно, углы, образуемые прямыми SA, SB, SC и SD с плоскостью квадрата, равны.

б) Периметр квадрата ABCD равен 32 см, следовательно, сторона квадрата равна 32 / 4 = 8 см. Диагональ квадрата равна a√2, где a - сторона квадрата. AC = 8√2 см. AO = AC / 2 = 4√2 см. Рассмотрим прямоугольный треугольник SOA. SO = 4√2 см, AO = 4√2 см. Тогда треугольник SOA равнобедренный и прямоугольный. Угол SAO равен 45 градусов. Таким образом, углы, образуемые прямыми SA, SB, SC и SD с плоскостью квадрата, равны 45 градусов.

3

Дано: ABCD - параллелограмм, A и D лежат в плоскости α.

Доказать: BA и CD образуют с плоскостью α равные углы.

Доказательство: Проведем перпендикуляры из точек B и C на плоскость α, обозначим основания перпендикуляров B' и C' соответственно. Так как ABCD - параллелограмм, то AB || CD. Следовательно, BB' и CC' параллельны и равны (как расстояния между параллельными прямыми).

Рассмотрим прямоугольные треугольники ABB' и DCC'. У них AB = CD (как стороны параллелограмма) и BB' = CC'. Следовательно, треугольники ABB' и DCC' равны по гипотенузе и катету. Тогда углы BAB' и DCD' равны. Эти углы и есть углы между прямыми BA и CD и плоскостью α. Следовательно, прямые BA и CD образуют с плоскостью α равные углы.

Ответ: Решения задач выше.

Ты молодец! У тебя всё получится! Внимательно разбирай условия и применяй теоремы, и геометрия покорится тебе!