Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаВопрос:
2cac4 Ответ: (2) ₄) При каких значениях параметра а уравнение ax² - (4a + 3)x + 5a + 2 = 0 имеет два различных корня? 9 ≠ 0 D= (49 +3)² - 4a
Ответ:
Давай разберем по порядку это задание. Нам нужно найти значения параметра \(a\), при которых квадратное уравнение \(ax^2 - (4a + 3)x + 5a + 2 = 0\) имеет два различных корня.
1. Условие существования квадратного уравнения:
\(a\) не должно равняться 0. Иначе уравнение станет линейным.
\[a
eq 0\] 2. Условие наличия двух различных корней: Дискриминант \(D\) должен быть больше 0. \[D = b^2 - 4ac > 0\] В нашем случае: \[a = a, \quad b = -(4a + 3), \quad c = 5a + 2\] Тогда дискриминант: \[D = (4a + 3)^2 - 4a(5a + 2)\] Раскроем скобки и упростим: \[D = 16a^2 + 24a + 9 - 20a^2 - 8a\] \[D = -4a^2 + 16a + 9\] Теперь нам нужно решить неравенство: \[-4a^2 + 16a + 9 > 0\] Умножим на -1, чтобы изменить знак неравенства: \[4a^2 - 16a - 9 < 0\] 3. Решение квадратного неравенства: Сначала найдем корни квадратного уравнения \(4a^2 - 16a - 9 = 0\). Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения: \[a = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\] В нашем случае: \[a = \frac{16 \pm \sqrt{(-16)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-9)}}{2 \cdot 4}\] \[a = \frac{16 \pm \sqrt{256 + 144}}{8}\] \[a = \frac{16 \pm \sqrt{400}}{8}\] \[a = \frac{16 \pm 20}{8}\] Таким образом, у нас два корня: \[a_1 = \frac{16 + 20}{8} = \frac{36}{8} = \frac{9}{2} = 4.5\] \[a_2 = \frac{16 - 20}{8} = \frac{-4}{8} = -\frac{1}{2} = -0.5\] 4. Определение интервала: Так как коэффициент при \(a^2\) положительный, парабола направлена вверх. Следовательно, неравенство \(4a^2 - 16a - 9 < 0\) выполняется между корнями. \[-\frac{1}{2} < a < \frac{9}{2}\] 5. Учитываем условие \(a
eq 0\): Так как \(0\) находится в интервале \((-\frac{1}{2}; \frac{9}{2})\), нам нужно исключить эту точку. Таким образом, окончательное решение: \[-\frac{1}{2} < a < 0 \quad \text{или} \quad 0 < a < \frac{9}{2}\] Или в виде интервалов: \[a \in \left(-\frac{1}{2}; 0\right) \cup \left(0; \frac{9}{2}\right)\]
eq 0\] 2. Условие наличия двух различных корней: Дискриминант \(D\) должен быть больше 0. \[D = b^2 - 4ac > 0\] В нашем случае: \[a = a, \quad b = -(4a + 3), \quad c = 5a + 2\] Тогда дискриминант: \[D = (4a + 3)^2 - 4a(5a + 2)\] Раскроем скобки и упростим: \[D = 16a^2 + 24a + 9 - 20a^2 - 8a\] \[D = -4a^2 + 16a + 9\] Теперь нам нужно решить неравенство: \[-4a^2 + 16a + 9 > 0\] Умножим на -1, чтобы изменить знак неравенства: \[4a^2 - 16a - 9 < 0\] 3. Решение квадратного неравенства: Сначала найдем корни квадратного уравнения \(4a^2 - 16a - 9 = 0\). Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения: \[a = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\] В нашем случае: \[a = \frac{16 \pm \sqrt{(-16)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-9)}}{2 \cdot 4}\] \[a = \frac{16 \pm \sqrt{256 + 144}}{8}\] \[a = \frac{16 \pm \sqrt{400}}{8}\] \[a = \frac{16 \pm 20}{8}\] Таким образом, у нас два корня: \[a_1 = \frac{16 + 20}{8} = \frac{36}{8} = \frac{9}{2} = 4.5\] \[a_2 = \frac{16 - 20}{8} = \frac{-4}{8} = -\frac{1}{2} = -0.5\] 4. Определение интервала: Так как коэффициент при \(a^2\) положительный, парабола направлена вверх. Следовательно, неравенство \(4a^2 - 16a - 9 < 0\) выполняется между корнями. \[-\frac{1}{2} < a < \frac{9}{2}\] 5. Учитываем условие \(a
eq 0\): Так как \(0\) находится в интервале \((-\frac{1}{2}; \frac{9}{2})\), нам нужно исключить эту точку. Таким образом, окончательное решение: \[-\frac{1}{2} < a < 0 \quad \text{или} \quad 0 < a < \frac{9}{2}\] Или в виде интервалов: \[a \in \left(-\frac{1}{2}; 0\right) \cup \left(0; \frac{9}{2}\right)\]
Ответ: \(a \in \left(-\frac{1}{2}; 0\right) \cup \left(0; \frac{9}{2}\right)\)
Отлично! Ты проделал большую работу, и у тебя все получилось. Продолжай в том же духе, и ты сможешь решить любые математические задачи! Молодец!