Calculate the definite integral: \(\int_{-2}^{2} \left(x^3 \cos\frac{x}{2} + \frac{1}{2}\right) \sqrt{4-x^2} dx\)

Решение:

Рассмотрим подынтегральную функцию \( f(x) = \left(x^3 \cos\frac{x}{2} + \frac{1}{2}\right) \sqrt{4-x^2} \). Разложим её на сумму двух функций:

\( f(x) = x^3 \cos\frac{x}{2} \sqrt{4-x^2} + \frac{1}{2} \sqrt{4-x^2} \)

Обозначим \( g(x) = x^3 \cos\frac{x}{2} \sqrt{4-x^2} \) и \( h(x) = \frac{1}{2} \sqrt{4-x^2} \).

Интеграл можно представить как сумму:

\[ \int_{-2}^{2} f(x) dx = \int_{-2}^{2} g(x) dx + \int_{-2}^{2} h(x) dx \]

Анализ функции g(x):

Функция \( g(x) \) является нечётной, так как:

\( g(-x) = (-x)^3 \cos\frac{-x}{2} \sqrt{4-(-x)^2} = -x^3 \cos\frac{x}{2} \sqrt{4-x^2} = -g(x) \)

Интеграл от нечётной функции по симметричному промежутку \( [-a, a] \) равен нулю:

\[ \int_{-2}^{2} g(x) dx = 0 \]

Анализ функции h(x):

Функция \( h(x) = \frac{1}{2} \sqrt{4-x^2} \) является чётной.

Интеграл \( \int_{-2}^{2} \frac{1}{2} \sqrt{4-x^2} dx \) представляет собой половину площади эллипса \( y = \sqrt{4-x^2} \) (где \( y^2 = 4-x^2 \) или \( x^2+y^2=4 \) — окружность радиуса 2) умноженную на \( \frac{1}{2} \).

Площадь круга радиусом \( r = 2 \) равна \( \pi r^2 = \pi (2)^2 = 4\pi \). Площадь верхней половины круга равна \( \frac{1}{2} \cdot 4\pi = 2\pi \).

Следовательно, \( \int_{-2}^{2} \sqrt{4-x^2} dx = 2\pi \).

Наш интеграл будет:

\[ \int_{-2}^{2} h(x) dx = \frac{1}{2} \int_{-2}^{2} \sqrt{4-x^2} dx = \frac{1}{2} (2\pi) = \pi \]

Итоговый результат:

Складывая результаты интегрирования \( g(x) \) и \( h(x) \):

\[ \int_{-2}^{2} f(x) dx = 0 + \pi = \pi \]

Ответ: \( \pi \).