Calculate the expression: $$\frac{1}{5^{-3}} \cdot \frac{1}{5^4}$$.

Решение:

Чтобы решить данный пример, воспользуемся свойствами степеней:

1. Правило отрицательной степени: \( a^{-n} = \frac{1}{a^n} \)
2. Правило умножения степеней с одинаковым основанием: \( a^m \cdot a^n = a^{m+n} \)

Преобразуем первую дробь:

\[ \frac{1}{5^{-3}} = 5^3 \]

Теперь умножим полученное выражение на вторую дробь:

\[ 5^3 \cdot \frac{1}{5^4} = \frac{5^3}{5^4} \]

Применим правило деления степеней с одинаковым основанием:

\[ \frac{5^3}{5^4} = 5^{3-4} = 5^{-1} \]

Преобразуем отрицательную степень в дробь:

\[ 5^{-1} = \frac{1}{5^1} = \frac{1}{5} \]

Таким образом, результат вычислений:

\[ \frac{1}{5^{-3}} \cdot \frac{1}{5^4} = \frac{1}{5} \]

Ответ: \( \frac{1}{5} \).