Calculate the expression: $$ \frac{\sqrt{49 a^{11}} - \sqrt{16 b^{6}}}{\sqrt{a^{6} b^{7}}} \quad \text{при } a=4, b=11 $$

Решение:

Для начала упростим выражение под корнями:

• \[ \sqrt{49 a^{11}} = \sqrt{7^2 \cdot a^{10} \cdot a} = 7 a^5 \sqrt{a} \]
• \[ \sqrt{16 b^{6}} = \sqrt{4^2 \cdot (b^3)^2} = 4 b^3 \]
• \[ \sqrt{a^{6} b^{7}} = \sqrt{(a^3)^2 \cdot b^6 \cdot b} = a^3 b^3 \sqrt{b} \]

Теперь подставим упрощенные корни в исходное выражение:

• \[ \frac{7 a^5 \sqrt{a} - 4 b^3}{a^3 b^3 \sqrt{b}} \]

Теперь подставим значения a=4 и b=11:

• \[ \sqrt{a} = \sqrt{4} = 2 \]
• \[ \sqrt{b} = \sqrt{11} \]
• \[ a^5 = 4^5 = 1024 \]
• \[ b^3 = 11^3 = 1331 \]
• \[ a^3 = 4^3 = 64 \]

Подставляем значения в числитель:

• \[ 7 \cdot 1024 \cdot 2 - 4 \cdot 1331 = 14336 - 5324 = 9012 \]

Подставляем значения в знаменатель:

• \[ 64 \cdot 1331 \cdot \sqrt{11} = 85184 \sqrt{11} \]

Таким образом, исходное выражение принимает вид:

• \[ \frac{9012}{85184 \sqrt{11}} \]

Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 4:

• \[ \frac{2253}{21296 \sqrt{11}} \]

Ответ:


\[ \frac{2253}{21296 \sqrt{11}} \]