Calculate the following expression: \(\sqrt{\frac{1}{2\pi \cdot 1000 \cdot 32^{-6}}}\)

Решение:

Для вычисления выражения \(\sqrt{\frac{1}{2\pi \cdot 1000 \cdot 32^{-6}}}\) выполним следующие шаги:

1. Преобразуем \(32^{-6}\): \(32 = 2^5\), следовательно, \(32^{-6} = (2^5)^{-6} = 2^{-30}\).
2. Подставим это в знаменатель: \(2\pi \cdot 1000 \cdot 2^{-30}\).
3. Упростим выражение в знаменателе: \(2 \cdot 1000 \cdot \pi \cdot 2^{-30} = 2000 \cdot \pi \cdot 2^{-30}\).
4. Перепишем дробь: \(\frac{1}{2000 \cdot \pi \cdot 2^{-30}} = \frac{2^{30}}{2000 \cdot \pi}\).
5. Извлечём квадратный корень: \(\sqrt{\frac{2^{30}}{2000 \cdot \pi}} = \frac{\sqrt{2^{30}}}{\sqrt{2000 \cdot \pi}} = \frac{2^{15}}{\sqrt{2000} \cdot \sqrt{\pi}}\).
6. Упростим \(\sqrt{2000}\): \(\sqrt{2000} = \sqrt{400 \cdot 5} = 20\sqrt{5}\).
7. Итоговое выражение: \(\frac{2^{15}}{20\sqrt{5} \sqrt{\pi}}\).

Ответ: \(\frac{2^{15}}{20\sqrt{5\pi}}\).