Calculate the following sum: 1/(1*2) + 1/(2*3) + 1/(3*4) + 1/(4*5) + 1/(5*6) + 1/(6*7) + 1/(7*8) + 1/(8*9) + 1/(9*10). This is problem number 68.

Решение:

Данную сумму можно представить как сумму телескопических рядов. Используем формулу разложения дроби на простейшие:

\( \frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \)

Применим эту формулу к каждому члену суммы:

• \( \frac{1}{1 \cdot 2} = \frac{1}{1} - \frac{1}{2} \)
• \( \frac{1}{2 \cdot 3} = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \)
• \( \frac{1}{3 \cdot 4} = \frac{1}{3} - \frac{1}{4} \)
• \( \frac{1}{4 \cdot 5} = \frac{1}{4} - \frac{1}{5} \)
• \( \frac{1}{5 \cdot 6} = \frac{1}{5} - \frac{1}{6} \)
• \( \frac{1}{6 \cdot 7} = \frac{1}{6} - \frac{1}{7} \)
• \( \frac{1}{7 \cdot 8} = \frac{1}{7} - \frac{1}{8} \)
• \( \frac{1}{8 \cdot 9} = \frac{1}{8} - \frac{1}{9} \)
• \( \frac{1}{9 \cdot 10} = \frac{1}{9} - \frac{1}{10} \)

Теперь сложим все эти выражения:

\( S = (\frac{1}{1} - \frac{1}{2}) + (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) + (\frac{1}{3} - \frac{1}{4}) + (\frac{1}{4} - \frac{1}{5}) + (\frac{1}{5} - \frac{1}{6}) + (\frac{1}{6} - \frac{1}{7}) + (\frac{1}{7} - \frac{1}{8}) + (\frac{1}{8} - \frac{1}{9}) + (\frac{1}{9} - \frac{1}{10}) \)

Заметим, что все промежуточные слагаемые сокращаются:

\( S = \frac{1}{1} - \frac{1}{10} \)

Вычислим результат:

\( S = \frac{10}{10} - \frac{1}{10} = \frac{9}{10} \)

Ответ: \( \frac{9}{10} \)