Calculate the value of the expression: $$ \frac{666666 \cdot 666666}{1+2+3+4+5+6+5+4+3+2+1} - \frac{777777 \cdot 777777}{1+2+3+4+5+6+7+6+5+4+3+2+1} $$

Решение:

Сначала упростим знаменатели дробей:

• Первый знаменатель: \( 1+2+3+4+5+6+5+4+3+2+1 = 36 \). Это квадрат числа 6: \( 6^2 = 36 \).
• Второй знаменатель: \( 1+2+3+4+5+6+7+6+5+4+3+2+1 = 49 \). Это квадрат числа 7: \( 7^2 = 49 \).

Теперь подставим упрощенные знаменатели в исходное выражение:

$$ \frac{666666 \cdot 666666}{36} - \frac{777777 \cdot 777777}{49} $$

Заметим, что \( 666666 = 6 \cdot 111111 \) и \( 777777 = 7 \cdot 111111 \).

Перепишем выражение:

$$ \frac{(6 \cdot 111111) \cdot (6 \cdot 111111)}{6^2} - \frac{(7 \cdot 111111) \cdot (7 \cdot 111111)}{7^2} $$$$ \frac{36 \cdot 111111^2}{36} - \frac{49 \cdot 111111^2}{49} $$

Сократим дроби:

$$ 111111^2 - 111111^2 $$

Вычислим результат:

$$ 0 $$

Ответ: 0