Calculate the value of the expression: \(\sqrt{45 \cdot 220 \cdot 44}\)

Решение:

Для вычисления значения квадратного корня из произведения чисел, сначала преобразуем числа под корнем, найдя их множители:

1. Разложим число 45 на простые множители: \( 45 = 9 \cdot 5 = 3^2 \cdot 5 \).
2. Разложим число 220 на простые множители: \( 220 = 22 \cdot 10 = 2 \cdot 11 \cdot 2 \cdot 5 = 2^2 \cdot 5 \cdot 11 \).
3. Разложим число 44 на простые множители: \( 44 = 4 \cdot 11 = 2^2 \cdot 11 \).
4. Теперь подставим эти разложения под знак корня:

\[ \sqrt{45 \cdot 220 \cdot 44} = \sqrt{(3^2 \cdot 5) \cdot (2^2 \cdot 5 \cdot 11) \cdot (2^2 \cdot 11)} \]

Сгруппируем одинаковые множители:

\[ = \sqrt{3^2 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 11 \cdot 11 \cdot 2^2 \cdot 2^2} = \sqrt{3^2 \cdot 5^2 \cdot 11^2 \cdot 2^4} \]

Извлечём квадратный корень, деля степени на 2:

\[ = 3^1 \cdot 5^1 \cdot 11^1 \cdot 2^2 = 3 \cdot 5 \cdot 11 \cdot 4 \]

Вычислим произведение:

\[ = 15 \cdot 44 = 660 \]

Ответ: 660.