3 C B A Дано: АВСD - трапеция; AO: CO = 7:3; BD = 40 см. Доказать: ВО-AO = CO-DO. Найти: ВО и DO.

Для решения задачи используем подобие треугольников.

Рассмотрим трапецию ABCD с основаниями AD и BC. Пусть O - точка пересечения диагоналей AC и BD.

1. Докажем, что BO * AO = CO * DO.

Рассмотрим треугольники AOD и COB.

• ∠AOD = ∠COB (как вертикальные).
• ∠DAO = ∠BCO (как накрест лежащие углы при параллельных прямых AD и BC и секущей AC).

Следовательно, треугольники AOD и COB подобны по двум углам (углу-углу).

Из подобия треугольников следует пропорция: AO/CO = DO/BO

Перекрестно умножая, получаем: BO * AO = CO * DO. Что и требовалось доказать.

2. Найдем BO и DO.

Дано: AO : CO = 7 : 3

Из подобия треугольников AOD и COB следует, что BO/DO = CO/AO = 3/7.

Пусть BO = 3x, тогда DO = 7x.

По условию BD = 40 см.

Значит, BO + DO = 40

3x + 7x = 40

10x = 40

x = 4

BO = 3x = 3 * 4 = 12 см.

DO = 7x = 7 * 4 = 28 см.

Ответ: BO = 12 см, DO = 28 см