CD — касательная (D — точка касания) к окружности с центром O, ∠DCO = 30°. Точка C удалена от центра окружности на 20 см. Вычислите длину диаметра окружности и расстояние от её центра до касательной.

Дано:

• Окружность с центром O.
• CD — касательная, D — точка касания.
• ∠DCO = 30°.
• OC = 20 см.

Найти:

• Диаметр окружности (d).
• Расстояние от центра O до касательной CD (h).

Решение:

1. Рассмотрим треугольник ODC.
• По свойству касательной, радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной. Следовательно, ∠ODC = 90°.
• Таким образом, треугольник ODC является прямоугольным.
2. Вычисление радиуса окружности.
• В прямоугольном треугольнике ODC, сторона OC является гипотенузой (она лежит напротив прямого угла ∠ODC).
• Сторона OD является катетом, прилежащим к углу ∠DCO.
• Мы знаем, что ∠DCO = 30° и OC = 20 см.
• В прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы.
• Следовательно, OD = OC / 2.
• OD = 20 см / 2 = 10 см.
• OD — это радиус окружности (r).
3. Вычисление диаметра окружности.
• Диаметр окружности равен удвоенному радиусу: d = 2r.
• d = 2 * 10 см = 20 см.
4. Вычисление расстояния от центра O до касательной CD.
• Расстояние от точки (центра окружности O) до прямой (касательной CD) — это длина перпендикуляра, опущенного из точки на прямую.
• В нашем случае, OD является радиусом, проведенным в точку касания D, и по свойству касательной, OD перпендикулярен CD.
• Таким образом, длина OD и есть расстояние от центра O до касательной CD.
• h = OD = 10 см.

Ответ:

• Длина диаметра окружности равна 20 см.
• Расстояние от её центра до касательной равно 10 см.