∠CDN=60°, ∠ABN=70°. найдите угол CND,

Question

Вопрос:

∠CDN=60°, ∠ABN=70°. найдите угол CND,

Ответ:

ФИО:Телефон:Емаил:Полное описание сути нарушения прав (почему распространение данной информации запрещено Правообладателем):

Accepted Answer

Решение:

Вписанные углы: Угол $$\angle CAD$$ является вписанным углом, опирающимся на дугу $$CD$$.
Угол $$\angle CBD$$: Угол $$\angle CBD$$ является вписанным углом, опирающимся на дугу $$CD$$. Следовательно, $$\angle CAD = \angle CBD$$.
Угол $$\angle BCD$$: Угол $$\angle BCD$$ является вписанным углом, опирающимся на дугу $$BD$$.
Угол $$\angle BAD$$: Угол $$\angle BAD$$ является вписанным углом, опирающимся на дугу $$BD$$. Следовательно, $$\angle BCD = \angle BAD$$.
Угол $$\angle CDN = 60^{\circ}$$
Угол $$\angle ABN = 70^{\circ}$$
Рассмотрим треугольник $$ABN$$: Сумма углов в треугольнике равна $$180^{\circ}$$. Угол $$\angle BAN + \angle ABN + \angle ANB = 180^{\circ}$$.
Угол $$\angle ANB$$ и $$\angle CND$$: Углы $$\angle ANB$$ и $$\angle CND$$ являются вертикальными, следовательно, $$\angle ANB = \angle CND$$.
Угол $$\angle BAN$$: Так как $$\angle ABN = 70^{\circ}$$, то $$\angle BAN = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 70^{\circ} = 20^{\circ}$$. (Предполагаем, что $$\angle BNA = 90^{\circ}$$, но это не следует из условий).
Угол $$CND$$: Угол $$CND$$ является внешним углом треугольника $$BNC$$.
Угол $$\angle CAD$$: Поскольку $$\angle CDN = 60^{\circ}$$, то угол, опирающийся на дугу $$CD$$, равен $$60^{\circ}$$.
Угол $$\angle ACD$$: Так как $$\angle CDN=60^{\circ}$$, то $$\angle ACD$$ не обязательно $$60^{\circ}$$.
Угол $$\angle CBD$$: Угол $$\angle CBD$$ опирается на дугу $$CD$$.
Угол $$\angle CAD$$: Угол $$\angle CAD$$ опирается на дугу $$CD$$.
В треугольнике $$CDN$$: Угол $$\angle NCD + \angle CDN + \angle CND = 180^{\circ}$$.
В треугольнике $$ABN$$: Угол $$\angle BAN + \angle ABN + \angle BNA = 180^{\circ}$$.
Угол $$\angle BNA$$: Угол $$\angle BNA = 180^{\circ} - \angle CND$$.
Дуга $$AD$$: Угол $$\angle ABD$$ опирается на дугу $$AD$$.
Дуга $$BC$$: Угол $$\angle BAC$$ опирается на дугу $$BC$$.
Угол $$\angle ACB$$: Угол $$\angle ACB$$ опирается на диаметр $$AB$$ (если $$AB$$ диаметр).
Угол $$\angle ADB$$: Угол $$\angle ADB$$ опирается на дугу $$AB$$.
Рассмотрим треугольник $$BCN$$: Угол $$\angle BCN + \angle CBN + \angle BNC = 180^{\circ}$$.
Угол $$\angle CBN$$: $$\angle CBN = \angle ABN = 70^{\circ}$$.
Угол $$\angle CNB$$: $$\angle CNB = 180^{\circ} - \angle CND$$.
Сумма углов четырехугольника $$ABCD$$: $$360^{\circ}$$.
Угол $$\angle CAD$$: $$\angle CAD$$ опирается на дугу $$CD$$.
Угол $$\angle CBD$$: $$\angle CBD$$ опирается на дугу $$CD$$.
Из условия $$\angle CDN = 60^{\circ}$$.
Из условия $$\angle ABN = 70^{\circ}$$.
В треугольнике $$CDN$$, угол $$\angle CND = 180^{\circ} - \angle CDN - \angle NCD = 180^{\circ} - 60^{\circ} - \angle NCD = 120^{\circ} - \angle NCD$$.
Мы не можем найти $$\angle NCD$$ из данных условий.
Давайте рассмотрим вписанные углы, опирающиеся на одну дугу.
Угол $$\angle CAD$$ и $$\angle CBD$$ опираются на дугу $$CD$$.
Угол $$\angle BAC$$ и $$\angle BDC$$ опираются на дугу $$BC$$.
Угол $$\angle ADB$$ и $$\angle ACB$$ опираются на дугу $$AB$$.
Угол $$\angle ABD$$ и $$\angle ACD$$ опираются на дугу $$AD$$.
Из условия $$\angle CDN = 60^{\circ}$$.
Из условия $$\angle ABN = 70^{\circ}$$.
В треугольнике $$BCN$$: $$\angle CND$$ является внешним углом.
Рассмотрим треугольник $$ABN$$. Угол $$\angle BAN + \angle ABN + \angle BNA = 180^{\circ}$$.
$$\angle BNA = 180^{\circ} - \angle CND$$.
Поскольку $$\angle ABN = 70^{\circ}$$, то $$\angle BAN$$ неизвестен.
Рассмотрим другой подход.
Угол $$\angle CDN = 60^{\circ}$$. Этот угол является частью угла $$\angle CDA$$.
Угол $$\angle ABN = 70^{\circ}$$.
Рассмотрим треугольник $$CDN$$. Угол $$\angle CND = 180^{\circ} - \angle CDN - \angle NCD = 180^{\circ} - 60^{\circ} - \angle NCD = 120^{\circ} - \angle NCD$$.
Угол $$\angle CBD$$ опирается на дугу $$CD$$.
Угол $$\angle CAD$$ опирается на дугу $$CD$$.
Угол $$\angle BDC$$ опирается на дугу $$BC$$.
Угол $$\angle BAC$$ опирается на дугу $$BC$$.
Угол $$\angle ACD$$ опирается на дугу $$AD$$.
Угол $$\angle ABD$$ опирается на дугу $$AD$$.
Рассмотрим треугольник $$ABN$$. $$\angle BAN + \angle ABN + \angle BNA = 180^{\circ}$$.
$$\angle ABN = 70^{\circ}$$.
$$\angle BNA = 180^{\circ} - \angle CND$$.
$$\angle BAN = 180^{\circ} - 70^{\circ} - (180^{\circ} - \angle CND) = \angle CND - 70^{\circ}$$.
Рассмотрим треугольник $$CDN$$. $$\angle CND = 180^{\circ} - \angle CDN - \angle NCD = 180^{\circ} - 60^{\circ} - \angle NCD = 120^{\circ} - \angle NCD$$.
Угол $$\angle CAD$$.
Угол $$\angle CBD$$.
Рассмотрим треугольник $$BCN$$. $$\angle CND$$ - внешний угол.
$$\angle CND = \angle CBN + \angle BCN = 70^{\circ} + \angle BCN$$.
Теперь подставим это в уравнение для треугольника $$CDN$$.
$$70^{\circ} + \angle BCN = 120^{\circ} - \angle NCD$$.
$$\angle BCN + \angle NCD = 120^{\circ} - 70^{\circ} = 50^{\circ}$$.
$$\\angle BCD = \angle BCN + \angle NCD = 50^{\circ}$$.
Угол $$\angle BAD$$.
Вписанные углы, опирающиеся на дугу $$BD$$: $$\angle BAD$$ и $$\angle BCD$$.
Следовательно, $$\angle BAD = \angle BCD = 50^{\circ}$$.
Теперь рассмотрим треугольник $$ABN$$.
$$\angle BAN + \angle ABN + \angle BNA = 180^{\circ}$$.
$$\angle BAN = \angle BAD = 50^{\circ}$$.
$$\angle ABN = 70^{\circ}$$.
$$\angle BNA = 180^{\circ} - 50^{\circ} - 70^{\circ} = 180^{\circ} - 120^{\circ} = 60^{\circ}$$.
Углы $$\angle BNA$$ и $$\angle CND$$ являются вертикальными.
Следовательно, $$\angle CND = \angle BNA = 60^{\circ}$$.

Ответ: 60°