Часть 1. Вариант № 9 1. (4 балла) Вычислите: 1) 64^(1/6) * 27^(1/3) - 144^(1/2); 2) log_3 8 - log_3 24; 3) (sqrt(3))/(sqrt(96)); 4) -3tg(-pi/4) - 4cos(pi/3). 2. (4 балла) Решите уравнения: 1) root(5)(-x-4) = -1; 2) sqrt(3) tg x = 1; 3) log_3 (2x+5) = -1; 4) (4/5)^(x-3) = 125/64. 3. (3 балла) Решите неравенство:

Решение:

1. Вычислите:

1. \( 64^{1/6} \cdot 27^{1/3} - 144^{1/2} \)


• \( 64^{1/6} = (2^6)^{1/6} = 2 \)
• \( 27^{1/3} = (3^3)^{1/3} = 3 \)
• \( 144^{1/2} = \sqrt{144} = 12 \)
• \( 2 \cdot 3 - 12 = 6 - 12 = -6 \)



2. \( \log_3 8 - \log_3 24 \)


• Используем свойство логарифмов: \( \log_a b - \log_a c = \log_a (b/c) \)
• \( \log_3 (8/24) = \log_3 (1/3) = \log_3 (3^{-1}) = -1 \)



3. \( \frac{\sqrt[5]{3}}{\sqrt[5]{96}} \)


• \( \frac{\sqrt[5]{3}}{\sqrt[5]{96}} = \sqrt[5]{\frac{3}{96}} = \sqrt[5]{\frac{1}{32}} = \sqrt[5]{\frac{1}{2^5}} = \frac{1}{2} \)



4. \( -3\text{tg}\left(-\frac{\pi}{4}\right) - 4\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) \)


• \( \text{tg}\left(-\frac{\pi}{4}\right) = -\text{tg}\left(\frac{\pi}{4}\right) = -1 \)
• \( \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2} \)
• \( -3(-1) - 4\left(\frac{1}{2}\right) = 3 - 2 = 1 \)

2. Решите уравнения:

1. \( \sqrt[5]{-x-4} = -1 \)


• Возведём обе части в 5-ю степень:
• \( -x-4 = (-1)^5 \)
• \( -x-4 = -1 \)
• \( -x = 3 \)
• \( x = -3 \)



2. \( \sqrt{3} \text{tg } x = 1 \)


• \( \text{tg } x = \frac{1}{\sqrt{3}} \)
• \( x = \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z} \)



3. \( \log_3 (2x+5) = -1 \)


• По определению логарифма:
• \( 2x+5 = 3^{-1} \)
• \( 2x+5 = \frac{1}{3} \)
• \( 2x = \frac{1}{3} - 5 = \frac{1 - 15}{3} = -\frac{14}{3} \)
• \( x = -\frac{14}{3} \div 2 = -\frac{14}{3} \cdot \frac{1}{2} = -\frac{7}{3} \)
• Проверка ОДЗ: \( 2x+5 > 0 \). \( 2(-\frac{7}{3}) + 5 = -\frac{14}{3} + \frac{15}{3} = \frac{1}{3} > 0 \). ОДЗ выполняется.



4. \( \left(\frac{4}{5}\right)^{x-3} = \frac{125}{64} \)


• Заметим, что \( \frac{125}{64} = \frac{5^3}{4^3} = \left(\frac{5}{4}\right)^3 \).
• \( \left(\frac{4}{5}\right)^{x-3} = \left(\frac{5}{4}\right)^3 \)
• \( \left(\frac{4}{5}\right)^{x-3} = \left(\frac{4}{5}\right)^{-3} \)
• Приравниваем показатели степени:
• \( x-3 = -3 \)
• \( x = 0 \)

3. Решите неравенство:

Неравенство не полностью видно на изображении.

Ответ: 1) -6; 2) -1; 3) 1/2; 4) 1. 2) 1) x = -3; 2) x = \(\frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}\); 3) x = -\(\frac{7}{3}\); 4) x = 0. 3) Неравенство не полностью видно.