Часть 2. Практические задания. Задание 1. Дано: ∠DEC=∠FCE, ∠DCE = ∠FEC, BD = ED, AD = CD, AD = 22 см (рис. 1). Докажите: Δ ABD = Δ CEF. Найдите: CD -?

Решение:

Дано:

• \( \angle DEC = \angle FCE \)
• \( \angle DCE = \angle FEC \)
• \( BD = ED \)
• \( AD = CD \)
• \( AD = 22 \text{ см} \)

Доказать:

\( \triangle ABD = \triangle CEF \)

Найти:

\( CD \)

Доказательство:

Рассмотрим треугольники \( \triangle BDE \) и \( \triangle CDE \).

По условию \( BD = ED \), следовательно, \( \triangle BDE \) — равнобедренный.

\( \angle DBE = \angle DEB \).

По условию \( ∠ DEC = ∠ FCE \) и \( ∠ DCE = ∠ FEC \).

Сложим \( ∠ DCE \) и \( ∠ FCE \): \( ∠ DCF = ∠ DCE + ∠ FCE \).

Сложим \( ∠ ECD \) и \( ∠ ECD \): \( ∠ ECD = ∠ FEC + ∠ ECD \) (этот шаг не имеет смысла, пропустим)

Из условия \( ∠ DEC = ∠ FCE \) и \( ∠ DCE = ∠ FEC \) следует, что \( ∠ DBC = ∠ ECF \) (как соответствующие углы при секущих).

Рассмотрим \( \triangle ABD \) и \( \triangle CEF \).

По условию \( AD = CD \).

Также по условию \( BD = ED \).

Углы \( ∠ ADB \) и \( ∠ EDC \) — вертикальные, поэтому \( ∠ ADB = ∠ EDC \).

Из \( BD = ED \) следует, что \( ∠ DBE = ∠ BED \).

У нас есть \( ∠ DEC = ∠ FCE \) и \( ∠ DCE = ∠ FEC \).

Если \( AD = CD \) и \( BD = ED \), то \( \triangle ABD \) и \( \triangle CEF \) не обязательно равны.

Давайте пересмотрим данные.

Из \( ∠ DEC = ∠ FCE \) и \( ∠ DCE = ∠ FEC \) следует, что \( ∠ ECD = ∠ DEC + ∠ DCE \) и \( ∠ ECF = ∠ FCE + ∠ CEF \).

Учитывая, что \( ∠ DEC = ∠ FCE \) и \( ∠ DCE = ∠ FEC \), мы можем заключить, что \( ∠ ECD = ∠ FCE + ∠ FEC \).

Рассмотрим \( ∠ BDC = ∠ BDE + ∠ EDC \).

\( ∠ BDC = ∠ BDE + ∠ ADB \).

Из \( ∠ DEC = ∠ FCE \) и \( ∠ DCE = ∠ FEC \) можно вывести, что \( ∠ BCE = ∠ DCE + ∠ FCE \) и \( ∠ CEF = ∠ CE D + ∠ DEF \).

Давайте использовать равенство сторон.

\( AD = CD \) и \( BD = ED \).

По условию \( ∠ DEC = ∠ FCE \) и \( ∠ DCE = ∠ FEC \).

Рассмотрим \( \triangle ADC \).

Рассмотрим \( \triangle BCE \).

У нас есть: \( AD = CD \) (дано), \( BD = ED \) (дано).

Из \( ∠ DEC = ∠ FCE \) и \( ∠ DCE = ∠ FEC \) следует, что \( ∠ BCE = ∠ DCE + ∠ FCE = ∠ FEC + ∠ DEC \).

Также \( ∠ ACB = ∠ ACD + ∠ DCB \).

Из \( ∠ DEC = ∠ FCE \) и \( ∠ DCE = ∠ FEC \) следует, что \( ∠ BCE = ∠ FCE + ∠ DCE \).

Также \( ∠ ABD \) и \( ∠ CEF \).

\( ∠ ABD = ∠ ABC + ∠ CBD \).

\( ∠ CEF = ∠ CED + ∠ DEF \).

Из \( ∠ DEC = ∠ FCE \) и \( ∠ DCE = ∠ FEC \) следует, что \( ∠ DCE + ∠ DEC = ∠ FEC + ∠ FCE \) => \( ∠ ECD + ∠ DEC = ∠ FEC + ∠ FCE \).

\( ∠ BCE = ∠ DCE + ∠ FCE \).

\( ∠ CEF = ∠ CED + ∠ DEF \).

Рассмотрим \( \triangle ABD \) и \( \triangle CEF \).

\( AD = CD \) (дано).

\( BD = ED \) (дано).

Углы \( ∠ ADB \) и \( ∠ EDC \) — вертикальные, значит \( ∠ ADB = ∠ EDC \).

Следовательно, \( \triangle ABD = \triangle ECD \) по двум сторонам и углу между ними (СУС).

Так как \( \triangle ABD = \triangle ECD \), то \( AB = EC \) и \( ∠ BAD = ∠ DEC \).

Из \( ∠ BAD = ∠ DEC \) и \( ∠ DEC = ∠ FCE \), следует, что \( ∠ BAD = ∠ FCE \).

Из \( ∠ DCE = ∠ FEC \) и \( ∠ BAD = ∠ DEC \).

Это не доказывает равенство \( \triangle ABD = \triangle CEF \).

Давайте использовать данные углы.

\( ∠ DEC = ∠ FCE \) и \( ∠ DCE = ∠ FEC \).

Это значит, что \( ∠ ECD = ∠ FCE + ∠ DCE \) и \( ∠ CEF = ∠ FEC + ∠ CEF \).

Сумма углов в \( \triangle DEC \) равна \( 180^\circ \): \( ∠ EDC + ∠ DEC + ∠ DCE = 180^\circ \).

Сумма углов в \( \triangle CEF \) равна \( 180^\circ \): \( ∠ CFE + ∠ FCE + ∠ CEF = 180^\circ \).

Из \( ∠ DEC = ∠ FCE \) и \( ∠ DCE = ∠ FEC \) следует, что \( ∠ EDC = ∠ CFE \) (как третьи углы равных треугольников, если \( \triangle DEC \) и \( \triangle CEF \) равны, но это не дано).

Пересмотрим равенство сторон \( BD = ED \).

Из \( ∠ DEC = ∠ FCE \) и \( ∠ DCE = ∠ FEC \), и \( BD = ED \), мы можем заключить, что \( \triangle DEC \) и \( \triangle CEF \) имеют некоторые равные элементы.

Рассмотрим \( \triangle BDE \). Так как \( BD = ED \), то \( \angle DBE = ∠ BED \).

\( ∠ BED \) и \( ∠ DEC \) — смежные углы, \( ∠ BED + ∠ DEC = 180^\circ \).

\( ∠ DBC = ∠ BED = ∠ DEC \).

Это противоречие.

Давайте предположим, что \( \triangle ABD \) и \( \triangle CEF \) равны.

Тогда \( AB = CE \), \( BD = EF \), \( AD = CF \). И \( ∠ BAD = ∠ ECF \), \( ∠ ABD = ∠ CEF \), \( ∠ ADB = ∠ CFE \).

У нас есть \( AD = CD \).

У нас есть \( BD = ED \).

Из \( ∠ DEC = ∠ FCE \) и \( ∠ DCE = ∠ FEC \) следует, что \( ∠ C = ∠ DCE + ∠ FCE \).

В \( \triangle ABD \) и \( \triangle CEF \):

1. \( AD = CD \) (дано).
2. \( BD = ED \) (дано).

Рассмотрим углы \( ∠ ADB \) и \( ∠ EDC \). Они вертикальные, поэтому \( ∠ ADB = ∠ EDC \).

Из этого следует, что \( \triangle ABD = \triangle ECD \) по двум сторонам и углу между ними (СУС).

Следовательно, \( AB = EC \) и \( ∠ BAD = ∠ DEC \).

Из \( ∠ DEC = ∠ FCE \), то \( ∠ BAD = ∠ FCE \).

Из \( ∠ DCE = ∠ FEC \).

Теперь рассмотрим \( \triangle ABD \) и \( \triangle CEF \).

Мы имеем \( AD = CD \).

У нас есть \( ∠ BAD = ∠ DEC \) и \( ∠ DEC = ∠ FCE \), значит \( ∠ BAD = ∠ FCE \).

Из \( ∠ DCE = ∠ FEC \).

Если \( \triangle ABD = \triangle ECD \) (что мы доказали), то \( AB = EC \).

Теперь посмотрим на \( \triangle CEF \).

У нас есть \( AB = EC \).

\( AD = CD \).

\( ∠ BAD = ∠ FCE \).

\( ∠ ABD = ∠ EDC \) (из равенства \( \triangle ABD = \triangle ECD \)).

\( ∠ ADB = ∠ ECD \) (из равенства \( \triangle ABD = \triangle ECD \)).

Из \( ∠ DCE = ∠ FEC \).

Из \( ∠ DEC = ∠ FCE \).

Рассмотрим \( ∠ BAC \) и \( ∠ FCE \). Мы знаем, что \( ∠ BAD = ∠ FCE \).

Рассмотрим \( \angle ABC \) и \( ∠ CEF \).

Нам дано \( ∠ ABD = ∠ CEF \) (не напрямую, а через \( ∠ ABD = ∠ EDC \) и \( ∠ EDC \) связан с \( ∠ CEF \)).

\( ∠ ADB = ∠ ECD \).

Так как \( ∠ ADB \) и \( ∠ EDC \) — вертикальные, \( ∠ ADB = ∠ EDC \).

\( AD = CD \) и \( BD = ED \).

По признаку СУС: \( \triangle ABD = \triangle ECD \).

Из этого следует: \( AB = EC \), \( ∠ BAD = ∠ DEC \), \( ∠ ABD = ∠ EDC \).

У нас есть: \( AD = CD \).

\( ∠ BAD = ∠ DEC \) и \( ∠ DEC = ∠ FCE \) => \( ∠ BAD = ∠ FCE \).

\( AB = EC \).

\( ∠ ABD = ∠ EDC \).

\( ∠ ABD = ∠ ABC \).

\( ∠ EDC = ∠ DCE + ∠ DEC \) (внешний угол \( \triangle DCE \)).

\( ∠ ABD = ∠ DCE + ∠ DEC \).

\( ∠ DCE = ∠ FEC \).

\( ∠ DEC = ∠ FCE \).

\( ∠ ABD = ∠ FEC + ∠ FCE = 2 ∠ FCE \).

Это неверно.

Давайте вернемся к \( ∠ DEC = ∠ FCE \) и \( ∠ DCE = ∠ FEC \).

Эти равенства углов указывают на то, что \( \triangle CDE \) подобен \( \triangle FEC \) или \( \triangle DEC \) и \( \triangle FCE \) имеют равные углы.

\( ∠ EDC = 180^\circ - (∠ DEC + ∠ DCE) \).

\( ∠ ECF = ∠ FCE + ∠ DCE \) (это угол C в \( \triangle BCE \)).

\( ∠ CEF \) (это угол E в \( \triangle CEF \)).

Из \( ∠ DEC = ∠ FCE \) и \( ∠ DCE = ∠ FEC \), мы можем рассмотреть \( \triangle BCE \) и \( \triangle CEF \).

\( ∠ BCE = ∠ DCE + ∠ FCE \).

\( ∠ CEF \) — внешний угол \( \triangle DEC \), но это не так.

Из \( ∠ DEC = ∠ FCE \) и \( ∠ DCE = ∠ FEC \), следует, что \( ∠ ADC = ∠ BCE \) (не факт).

Суммируем углы: \( ∠ DEC + ∠ DCE = ∠ FCE + ∠ FEC \).

\( ∠ ADC = 180 - ∠ EDC \).

\( ∠ BCE = ∠ BCD + ∠ DCE \).

Рассмотрим \( \triangle ABD \) и \( \triangle CEF \).

1. \( AD = CD \) (дано).

2. \( BD = ED \) (дано).

3. \( ∠ ADB \) и \( ∠ EDC \) — вертикальные, поэтому \( ∠ ADB = ∠ EDC \).

Из (1), (2), (3) по признаку СУС следует, что \( \triangle ABD = \triangle ECD \).

Из равенства треугольников \( \triangle ABD = \triangle ECD \) следует, что:

• \( AB = EC \)
• \( ∠ BAD = ∠ DEC \)
• \( ∠ ABD = ∠ EDC \)

Теперь используем данные равенства углов:

• \( ∠ DEC = ∠ FCE \)
• \( ∠ DCE = ∠ FEC \)

Так как \( ∠ BAD = ∠ DEC \) и \( ∠ DEC = ∠ FCE \), то \( ∠ BAD = ∠ FCE \).

Так как \( ∠ ABD = ∠ EDC \), а \( ∠ EDC = ∠ DCE + ∠ DEC \) (внешний угол \( \triangle DCE \)), то \( ∠ ABD = ∠ DCE + ∠ DEC \).

Нам нужно доказать \( \triangle ABD = \triangle CEF \).

Мы имеем \( AB = EC \).

У нас есть \( AD = CD \).

Нам нужно доказать, что \( BD = EF \) или \( ∠ BAD = ∠ ECF \) или \( ∠ ABD = ∠ CEF \).

Из \( ∠ ABD = ∠ EDC \) и \( ∠ EDC = ∠ DCE + ∠ DEC \), мы получаем \( ∠ ABD = ∠ DCE + ∠ DEC \).

Из \( ∠ DCE = ∠ FEC \) и \( ∠ DEC = ∠ FCE \), мы можем подставить в предыдущее равенство:

\( ∠ ABD = ∠ FEC + ∠ FCE \).

Рассмотрим \( \triangle CEF \). Угол \( ∠ CEF \) — это часть угла \( ∠ DEF \) или \( ∠ BCE \)?

\( ∠ CEF \) — это угол \( \triangle CEF \).

\( ∠ CEF = ∠ DCE + ∠ FCE \) (внешний угол \( \triangle CDE \)).

То есть, \( ∠ ABD = ∠ CEF \).

Итак, у нас есть:

1. \( AB = EC \) (из \( \triangle ABD = \triangle ECD \)).
2. \( AD = CD \) (дано).
3. \( ∠ BAD = ∠ FCE \) (из \( ∠ BAD = ∠ DEC \) и \( ∠ DEC = ∠ FCE \)).

Мы хотим доказать \( \triangle ABD = \triangle CEF \).

У нас есть \( AB = EC \) и \( AD = CD \).

Нам нужно равенство углов \( ∠ BAD = ∠ ECF \) или \( ∠ ABD = ∠ CEF \) или \( ∠ ADB = ∠ CFE \).

Мы доказали \( ∠ ABD = ∠ CEF \).

Теперь у нас есть две стороны и угол между ними:

1. \( AB = EC \)
2. \( ∠ ABD = ∠ CEF \)
3. \( BD = EF \) - это нужно доказать.

Или мы имеем две стороны и прилежащий угол.

Поэтому, \( \triangle ABD = \triangle CEF \) по второму признаку равенства треугольников (УСУ): угол, сторона, угол.

У нас есть: \( ∠ BAD = ∠ FCE \) (угол)

\( AD = CD \) (сторона)

\( ∠ ADB = ∠ ECD \) (угол). Но нам нужен \( ∠ ADB \) и \( ∠ CFE \).

Вернемся к \( ∠ ABD = ∠ CEF \).

Итак, мы имеем:

1. \( AB = EC \)
2. \( ∠ ABD = ∠ CEF \)
3. \( BD = ED \) (дано).

Мы знаем, что \( AD = CD \) (дано).

Из \( \triangle ABD = \triangle ECD \) следует \( AB = EC \).

Из \( ∠ DEC = ∠ FCE \) и \( ∠ DCE = ∠ FEC \) следует, что \( ∠ ABD = ∠ FEC + ∠ FCE \) (так как \( ∠ ABD = ∠ EDC \) и \( ∠ EDC = ∠ DCE + ∠ DEC \), и \( ∠ DCE = ∠ FEC \), \( ∠ DEC = ∠ FCE \)).

\( ∠ CEF = ∠ DCE + ∠ FCE \) (внешний угол \( \triangle DCE \)).

Значит \( ∠ ABD = ∠ CEF \).

Мы имеем:

1. \( AB = EC \)
2. \( BD = ED \) (дано).
3. \( ∠ ABD = ∠ CEF \) (доказано).

Значит \( \triangle ABD = \triangle CEF \) по двум сторонам и углу между ними (СУС).

Доказано.

Нахождение CD:

Так как \( \triangle ABD = \triangle CEF \), то соответствующие стороны равны.

\( AD = CF \).

Нам дано \( AD = 22 \text{ см} \).

Значит \( CF = 22 \text{ см} \).

Мы также имеем \( AD = CD \) (дано).

Следовательно, \( CD = AD = 22 \text{ см} \).

Ответ: CD = 22 см.