Часть 2 13(2 балла). Решите уравнение: (x+21)/(x^2-9) = x/(x+3) 14(3 балла). Решите систему неравенств { 2x <= (14x+19)/2 { (1+2x)/4 <= (5+4x)/10 15(4 балла). Первый рабочий за час делает на 3 детали больше, чем второй рабочий, и заканчивает работу над заказом, состоящим из 352 деталей, на 6 часов раньше, чем второй рабочий выполняет заказ, состоящий из 418 таких же деталей. Сколько деталей в час делает первый рабочий?

Привет! Давай разберем эти задания вместе.

13. Решение уравнения:

Нам нужно решить уравнение:

\[ \frac{x+21}{x^2-9} = \frac{x}{x+3} \]
Шаг 1: Приводим к общему знаменателю.

Заметим, что
\[ x^2 - 9 = (x-3)(x+3) \]
Значит, общий знаменатель для обеих дробей —
\[ (x-3)(x+3) \]
Теперь преобразуем уравнение:

\[ \frac{x+21}{(x-3)(x+3)} = \frac{x(x-3)}{(x+3)(x-3)} \]
Шаг 2: Приравниваем числители.

Когда знаменатели равны, равны и числители:

\[ x+21 = x(x-3) \]
Шаг 3: Раскрываем скобки и решаем квадратное уравнение.

\[ x+21 = x^2 - 3x \]
Переносим все в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

\[ x^2 - 3x - x - 21 = 0 \]
\[ x^2 - 4x - 21 = 0 \]
Теперь найдем корни этого уравнения. Можно использовать дискриминант или теорему Виета. Давай через дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4(1)(-21) = 16 + 84 = 100 \]
\[ \sqrt{D} = \sqrt{100} = 10 \]
\[ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 + 10}{2(1)} = \frac{14}{2} = 7 \]
\[ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 - 10}{2(1)} = \frac{-6}{2} = -3 \]
Шаг 4: Проверяем ОДЗ (область допустимых значений).

Изначально у нас были знаменатели
\[ x^2-9 \text{ и } x+3 \]
Значит,
\[ x^2-9
eq 0 \implies x
eq 3 \text{ и } x
eq -3 \]
\[ x+3
eq 0 \implies x
eq -3 \]
Таким образом,
\[ x
eq 3 \text{ и } x
eq -3 \]
Корень
\[ x_2 = -3 \]
не подходит, так как он обращает знаменатель в ноль. А корень
\[ x_1 = 7 \]
подходит.

Ответ: 7

14. Решение системы неравенств:

У нас есть система:

\[ \begin{cases} 2x \le \frac{14x+19}{2} \\ \frac{1+2x}{4} \le \frac{5+4x}{10} \end{cases} \]
Шаг 1: Решаем первое неравенство.

\[ 2x \le \frac{14x+19}{2} \]
Умножаем обе части на 2:

\[ 4x \le 14x+19 \]
Переносим
\[ 4x - 14x \le 19 \]
\[ -10x \le 19 \]
Делим на -10 и меняем знак неравенства:

\[ x \ge \frac{19}{-10} \]
\[ x \ge -1.9 \]
Шаг 2: Решаем второе неравенство.

\[ \frac{1+2x}{4} \le \frac{5+4x}{10} \]
Общий знаменатель для 4 и 10 — это 20. Умножаем обе части на 20:

\[ 20 \cdot \frac{1+2x}{4} \le 20 \cdot \frac{5+4x}{10} \]
\[ 5(1+2x) \le 2(5+4x) \]
Раскрываем скобки:

\[ 5 + 10x \le 10 + 8x \]
Переносим
\[ 10x - 8x \le 10 - 5 \]
\[ 2x \le 5 \]
\[ x \le \frac{5}{2} \]
\[ x \le 2.5 \]
Шаг 3: Находим пересечение решений.

У нас есть два условия:
\[ x \ge -1.9 \]
и
\[ x \le 2.5 \]
Объединяя их, получаем:

\[ -1.9 \le x \le 2.5 \]

Ответ:
\[ -1.9 \le x \le 2.5 \]

15. Решение задачи про рабочих:

Дано:

• Пусть
  \[ x \text{ дет/час} \]
  — производительность первого рабочего (сколько деталей он делает в час).
• Тогда
  \[ x-3 \text{ дет/час} \]
  — производительность второго рабочего.
• Первый рабочий выполняет заказ из
  \[ 352 \text{ детали} \]
  .
• Второй рабочий выполняет заказ из
  \[ 418 \text{ деталей} \]
  .
• Первый рабочий заканчивает свой заказ на 6 часов раньше второго.

Решение:

Шаг 1: Выражаем время выполнения заказов.

Время = Объем работы / Производительность.

Время первого рабочего:
\[ t_1 = \frac{352}{x} \]
Время второго рабочего:
\[ t_2 = \frac{418}{x-3} \]
Шаг 2: Составляем уравнение на основе условия о разнице во времени.

Так как первый рабочий закончил на 6 часов раньше, то его время
\[ t_1 \]
меньше времени второго рабочего
\[ t_2 \]
на 6 часов. То есть:

\[ t_2 - t_1 = 6 \]
Подставляем наши выражения для времени:

\[ \frac{418}{x-3} - \frac{352}{x} = 6 \]
Шаг 3: Решаем полученное уравнение.

Умножим все на общий знаменатель
\[ x(x-3) \]
:

\[ 418x - 352(x-3) = 6x(x-3) \]
Раскрываем скобки:

\[ 418x - 352x + 1056 = 6x^2 - 18x \]
Приводим подобные члены:

\[ 66x + 1056 = 6x^2 - 18x \]
Переносим все в одну сторону:

\[ 6x^2 - 18x - 66x - 1056 = 0 \]
\[ 6x^2 - 84x - 1056 = 0 \]
Разделим все на 6, чтобы упростить:

\[ x^2 - 14x - 176 = 0 \]
Теперь решим это квадратное уравнение. Используем дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = (-14)^2 - 4(1)(-176) = 196 + 704 = 900 \]
\[ \sqrt{D} = \sqrt{900} = 30 \]
Найдем корни:

\[ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{14 + 30}{2(1)} = \frac{44}{2} = 22 \]
\[ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{14 - 30}{2(1)} = \frac{-16}{2} = -8 \]
Шаг 4: Выбираем подходящий корень.

Производительность рабочего не может быть отрицательной, поэтому
\[ x = -8 \]
нам не подходит. Следовательно, производительность первого рабочего
\[ x = 22 \]
детали в час.

Ответ: 22 детали в час