Часть 2 13) Решите уравнение (2x+5)² = (4x-1)².

Решение:

Это квадратное уравнение, так как обе части возведены в квадрат. Есть два основных способа его решить:

1. Раскрыть скобки и привести к стандартному виду:
   1. Раскроем скобки по формуле (a + b)² = a² + 2ab + b²:
      (2x + 5)² = (2x)² + 2 × 2x × 5 + 5² = 4x² + 20x + 25
   2. Аналогично раскроем вторую скобку:
      (4x - 1)² = (4x)² - 2 × 4x × 1 + 1² = 16x² - 8x + 1
   3. Приравняем полученные выражения:
      4x² + 20x + 25 = 16x² - 8x + 1
   4. Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение вида ax² + bx + c = 0:
      16x² - 4x² - 8x - 20x + 1 - 25 = 0
12x² - 28x - 24 = 0
   5. Упростим уравнение, разделив все члены на 4:
      3x² - 7x - 6 = 0
   6. Найдем дискриминант (D) по формуле D = b² - 4ac:
      D = (-7)² - 4 × 3 × (-6) = 49 + 72 = 121
   7. Найдем корни уравнения (x₁, x₂) по формуле x = (-b ± √D) / 2a:
      x₁ = (7 + √121) / (2 × 3) = (7 + 11) / 6 = 18 / 6 = 3
x₂ = (7 - √121) / (2 × 3) = (7 - 11) / 6 = -4 / 6 = -2/3
2. Используя свойство равенства квадратов:
   Если a² = b², то a = b или a = -b.
   В нашем случае a = (2x + 5) и b = (4x - 1).
   1. Случай 1: a = b
2x + 5 = 4x - 1
5 + 1 = 4x - 2x
6 = 2x
x = 3
   2. Случай 2: a = -b
2x + 5 = -(4x - 1)
2x + 5 = -4x + 1
2x + 4x = 1 - 5
6x = -4
x = -4/6 = -2/3

Оба метода дают одинаковые корни.

Ответ:

x₁ = 3, x₂ = -2/3