Часть 3. В заданиях 7, 8 приведите полное решение (при необходимости пользуйтесь черновиком). 7. Докажите, что в равных треугольниках высоты, проведенные к соответственным сторонам, равны.

Решение:

Пусть даны два равных треугольника: \( \triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1 \).

Это означает, что:

• Стороны равны: \( a = a_1 \), \( b = b_1 \), \( c = c_1 \).
• Углы равны: \( \angle A = \angle A_1 \), \( \angle B = \angle B_1 \), \( \angle C = \angle C_1 \).

Проведем высоты к соответственным сторонам. Пусть \( BH \) — высота к стороне \( AC \) в \( \triangle ABC \), а \( B_1H_1 \) — высота к стороне \( A_1C_1 \) в \( \triangle A_1B_1C_1 \). Таким образом, \( BH \perp AC \) и \( B_1H_1 \perp A_1C_1 \).

Рассмотрим прямоугольные треугольники \( \triangle ABH \) и \( \triangle A_1B_1H_1 \).

У них:

• Гипотенузы равны: \( AB = A_1B_1 \) (по условию равенства треугольников \( \triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1 \)).
• Углы при вершине \( A \) равны: \( \angle A = \angle A_1 \) (по условию равенства треугольников \( \triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1 \)).

По признаку равенства прямоугольных треугольников (по гипотенузе и острому углу) \( \triangle ABH = \triangle A_1B_1H_1 \).

Из равенства этих треугольников следует равенство их катетов: \( BH = B_1H_1 \).

Следовательно, высоты, проведенные к соответственным сторонам равных треугольников, равны.

Доказано.