Часть А. Выберите один верный ответ. 1. Каким свойством обладает средняя линия треугольника по отношению к третьей стороне? а) перпендикулярна; б) параллельна и равна её половине; в) равна удвоенной стороне; г) пересекает под 45°. 2. Средняя линия треугольника равна 6 см. Найдите сторону, которой она параллельна: а) 3 см; б) 6 см; в) 12 см; г) 9 см. 3. На стороне угла OM = 6 см, MN = 6 см. Через M и N проведены параллельные прямые, пересекающие вторую сторону в M₁ и N₁. Если OM₁ = 7 см, то длина ON₁ равна: а) 14 см; б) 7 см; в) 13 см; г) 21 см. 4. Стороны треугольника относятся как 3:4:5. Периметр треугольника из его средних линий равен 36 см. Найдите длину наибольшей стороны исходного треугольника: а) 15 см; б) 30 см; в) 12 см; г) 24 см. 5. В △ABC прямая, параллельная AC, пересекает AB и BC в их серединах K и L. Во сколько раз площадь △KBL меньше площади △ABC? а) в 2 раза; б) в 3 раза; в) в 4 раза; г) в 8 раз. Часть Б. Запишите краткий ответ. 6. Средние линии треугольника равны 5 см, 6 см и 7 см. Найдите периметр этого треугольника. 7. В △ABC точки M и N — середины сторон AB и AC. Сумма стороны BC и средней линии MN равна 27 см. Найдите длину средней линии MN. 8. Параллельные прямые пересекают стороны угла. На одной стороне они откладывают два равных отрезка по 8 см. На второй стороне один из отрезков равен 11 см. Найдите длину второго отрезка. 9. В △ABC стороны AB = 10 см, BC = 12 см, AC = 14 см. P и Q — середины AB и BC. Из B проведена высота BH. Найдите периметр △PHQ. 10. В △ABC медиана BM = 16 см. На стороне AB точка K такова, что AK:KB = 1:3. Отрезок CK пересекает медиану BM в точке O. Найдите длину отрезка BO.

Question

Вопрос:

Фото задания

Часть А. Выберите один верный ответ. 1. Каким свойством обладает средняя линия треугольника по отношению к третьей стороне? а) перпендикулярна; б) параллельна и равна её половине; в) равна удвоенной стороне; г) пересекает под 45°. 2. Средняя линия треугольника равна 6 см. Найдите сторону, которой она параллельна: а) 3 см; б) 6 см; в) 12 см; г) 9 см. 3. На стороне угла OM = 6 см, MN = 6 см. Через M и N проведены параллельные прямые, пересекающие вторую сторону в M₁ и N₁. Если OM₁ = 7 см, то длина ON₁ равна: а) 14 см; б) 7 см; в) 13 см; г) 21 см. 4. Стороны треугольника относятся как 3:4:5. Периметр треугольника из его средних линий равен 36 см. Найдите длину наибольшей стороны исходного треугольника: а) 15 см; б) 30 см; в) 12 см; г) 24 см. 5. В △ABC прямая, параллельная AC, пересекает AB и BC в их серединах K и L. Во сколько раз площадь △KBL меньше площади △ABC? а) в 2 раза; б) в 3 раза; в) в 4 раза; г) в 8 раз. Часть Б. Запишите краткий ответ. 6. Средние линии треугольника равны 5 см, 6 см и 7 см. Найдите периметр этого треугольника. 7. В △ABC точки M и N — середины сторон AB и AC. Сумма стороны BC и средней линии MN равна 27 см. Найдите длину средней линии MN. 8. Параллельные прямые пересекают стороны угла. На одной стороне они откладывают два равных отрезка по 8 см. На второй стороне один из отрезков равен 11 см. Найдите длину второго отрезка. 9. В △ABC стороны AB = 10 см, BC = 12 см, AC = 14 см. P и Q — середины AB и BC. Из B проведена высота BH. Найдите периметр △PHQ. 10. В △ABC медиана BM = 16 см. На стороне AB точка K такова, что AK:KB = 1:3. Отрезок CK пересекает медиану BM в точке O. Найдите длину отрезка BO.

Accepted Answer

Средняя линия треугольника параллельна третьей стороне и равна её половине. Ответ: б).
Параллельная сторона вдвое больше средней линии: 2 · 6 = 12 см. Ответ: в).
OM = MN = 6 см, поэтому ON = 12 см. По подобию треугольников ON₁/ON = OM₁/OM = 7/6; следовательно, ON₁ = 12 · 7/6 = 14 см. Ответ: а).
Периметр исходного треугольника вдвое больше периметра треугольника из средних линий: 2 · 36 = 72 см. Наибольшая сторона составляет 5/12 периметра: 72 · 5/12 = 30 см. Ответ: б).
△KBL подобен △ABC с коэффициентом 1/2. Отношение площадей равно квадрату коэффициента: 1/4. Ответ: в 4 раза, вариант в).
Стороны исходного треугольника вдвое больше его средних линий. Периметр равен 2 · (5 + 6 + 7) = 36 см.
BC = 2MN. Тогда 2MN + MN = 27, откуда MN = 9 см.
Параллельные прямые отсекают на сторонах угла пропорциональные отрезки. Равным отрезкам на одной стороне соответствуют равные отрезки на другой; значит второй отрезок также равен 11 см.
Обозначим основание AC отрезком от A до C, а H — основание высоты. По теореме Пифагора и проекциям получаем AH = (AB² + AC² − BC²)/(2AC) = (100 + 196 − 144)/28 = 38/7 см и BH² = 100 − (38/7)² = 3456/49. P — середина AB, поэтому PH² = (19/7)² + (BH/2)² = 25, то есть PH = 5 см. Q — середина BC, поэтому QH² = (30/7)² + (BH/2)² = 36, то есть QH = 6 см. Кроме того, PQ = AC/2 = 7 см. Периметр △PHQ равен 5 + 6 + 7 = 18 см.
Пусть A, B, C имеют векторные координаты. Из AK:KB = 1:3 следует, что K = (3A + B)/4, а M = (A + C)/2. Решая равенство точек пересечения прямых BM и CK, получаем BO/BM = 6/7. Поэтому BO = 16 · 6/7 = 96/7 см.

Ответ: