Часть А. Выберите один верный ответ. 1. Отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника, называется… а) медианой; б) средней линией; в) высотой; г) биссектрисой. 2. Сторона треугольника равна 14 см. Найдите длину средней линии, которая ей параллельна: а) 14 см; б) 28 см; в) 7 см; г) 10 см. 3. На одной стороне угла AB = BC = 5 см. Через B и C проведены параллельные прямые, пересекающие вторую сторону в B₁ и C₁. Если AB₁ = 4 см, то B₁C₁ равна: а) 5 см; б) 4 см; в) 8 см; г) 2 см. 4. Периметр треугольника равен 24 см. Найдите периметр треугольника, образованного его средними линиями: а) 48 см; б) 16 см; в) 12 см; г) 8 см. 5. В △ABC проведены средняя линия DE ∥ AC и медиана BM, пересекающая DE в точке O. Какое утверждение НЕВЕРНО? а) DE = ½AC; б) DO = OE; в) BO = OM; г) BM = DE. Часть Б. Запишите краткий ответ. 6. Периметр равностороннего треугольника равен 36 см. Найдите длину его средней линии. 7. Точки D и E — середины сторон AB и BC △ABC. Разность стороны AC и средней линии DE равна 6,5 см. Найдите длину стороны AC. 8. На стороне угла отложены 3 равных отрезка. Через их концы проведены параллельные прямые. Сумма первых двух отрезков на другой стороне угла равна 18 см. Найдите длину третьего отрезка. 9. В равнобедренном △ABC (AB = BC) медиана AD и средняя линия EF ∥ AC пересекаются в O. Найдите EF, если AO = 8 см, а высота к основанию равна 12 см. 10. В △ABC сторона AC = 18 см. На AB отмечены точки M и N так, что AM = MN = NB. Через M и N проведены прямые, параллельные медиане BK. Найдите длину отрезка медианы, заключённого между этими прямыми.

Question

Вопрос:

Фото задания

Часть А. Выберите один верный ответ. 1. Отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника, называется… а) медианой; б) средней линией; в) высотой; г) биссектрисой. 2. Сторона треугольника равна 14 см. Найдите длину средней линии, которая ей параллельна: а) 14 см; б) 28 см; в) 7 см; г) 10 см. 3. На одной стороне угла AB = BC = 5 см. Через B и C проведены параллельные прямые, пересекающие вторую сторону в B₁ и C₁. Если AB₁ = 4 см, то B₁C₁ равна: а) 5 см; б) 4 см; в) 8 см; г) 2 см. 4. Периметр треугольника равен 24 см. Найдите периметр треугольника, образованного его средними линиями: а) 48 см; б) 16 см; в) 12 см; г) 8 см. 5. В △ABC проведены средняя линия DE ∥ AC и медиана BM, пересекающая DE в точке O. Какое утверждение НЕВЕРНО? а) DE = ½AC; б) DO = OE; в) BO = OM; г) BM = DE. Часть Б. Запишите краткий ответ. 6. Периметр равностороннего треугольника равен 36 см. Найдите длину его средней линии. 7. Точки D и E — середины сторон AB и BC △ABC. Разность стороны AC и средней линии DE равна 6,5 см. Найдите длину стороны AC. 8. На стороне угла отложены 3 равных отрезка. Через их концы проведены параллельные прямые. Сумма первых двух отрезков на другой стороне угла равна 18 см. Найдите длину третьего отрезка. 9. В равнобедренном △ABC (AB = BC) медиана AD и средняя линия EF ∥ AC пересекаются в O. Найдите EF, если AO = 8 см, а высота к основанию равна 12 см. 10. В △ABC сторона AC = 18 см. На AB отмечены точки M и N так, что AM = MN = NB. Через M и N проведены прямые, параллельные медиане BK. Найдите длину отрезка медианы, заключённого между этими прямыми.

Accepted Answer

Средняя линия соединяет середины двух сторон треугольника. Ответ: б).
Средняя линия равна половине параллельной ей стороны: 14 : 2 = 7 см. Ответ: в).
Параллельные прямые отсекают на сторонах угла пропорциональные отрезки. Поскольку AB = BC, то AB₁ = B₁C₁, значит B₁C₁ = 4 см. Ответ: б).
Периметр треугольника, образованного средними линиями, вдвое меньше исходного: 24 : 2 = 12 см. Ответ: в).
Верны свойства средней линии: DE = ½AC, а медиана делится точкой O пополам, поэтому DO = OE и BO = OM. Равенство BM = DE в общем случае неверно. Ответ: г).
Сторона равностороннего треугольника равна 36 : 3 = 12 см. Средняя линия равна половине стороны: 12 : 2 = 6 см.
Пусть AC = x. Тогда DE = x/2, поэтому x − x/2 = 6,5; x = 13 см.
Равные отрезки на одной стороне угла соответствуют равным отрезкам на другой стороне, поскольку проведённые прямые параллельны. Первые два отрезка на другой стороне равны и в сумме составляют 18 см, значит каждый равен 9 см. Третий отрезок также равен 9 см.
Из условия следует, что D — середина BC, а EF — средняя линия, поэтому EF = AC/2. Однако длина AC не задана, а данных AO = 8 см и высоты к основанию 12 см недостаточно, чтобы определить AC однозначно. Поэтому числовое значение EF найти нельзя; нужна длина AC или дополнительное условие, однозначно определяющее её.
Параллельные медиане BK прямые, проведённые через M и N, отсекают на AC отрезки, соответствующие равным третям AB. Расстояние между точками пересечения этих прямых с AC равно AC/3 = 18/3 = 6 см. Этот отрезок составляет соответствующую часть медианы BK, поэтому длина отрезка медианы между прямыми также равна 6 см.

Ответ: