Часть А (запишите только ответ) 1. Катеты прямоугольного треугольника равны 5 см и 12 см. Найди гипотенузу данного треугольника. 2. Сторона прямоугольника равна 7, а диагональ – 25. Найдите другую сторону прямоугольника. 3. Найдите катет прямоугольного треугольника, гипотенуза которого равна 25 дм, а второй катет равен 15 дм. 4. Найдите sina, если cos a = 2-3 5. Найдите тангенс угла А треугольника АВС с прямым углом С, если ВС = 8, АВ=17. Часть В (запишите решение и ответ) 6. Найдите высоту равностороннего треугольника, если его сторона равна 6 см. 7. Найдите площадь равнобедренной трапеции, если ее основания равны 5 см и 17 см, а боковая сторона равна 10 см.

1. Катеты прямоугольного треугольника равны 5 см и 12 см. Найдите гипотенузу данного треугольника.

Решение:

По теореме Пифагора, гипотенуза \( c \) равна: \[ c = \sqrt{a^2 + b^2} \], где \( a = 5 \) см и \( b = 12 \) см.

Подставляем значения: \[ c = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13 \] см.

Ответ: 13 см

2. Сторона прямоугольника равна 7, а диагональ – 25. Найдите другую сторону прямоугольника.

Решение:

Пусть одна сторона прямоугольника \( a = 7 \), а диагональ \( d = 25 \). Другую сторону \( b \) найдем по теореме Пифагора: \[ d^2 = a^2 + b^2 \] откуда \[ b = \sqrt{d^2 - a^2} \]

Подставляем значения: \[ b = \sqrt{25^2 - 7^2} = \sqrt{625 - 49} = \sqrt{576} = 24 \]

Ответ: 24

3. Найдите катет прямоугольного треугольника, гипотенуза которого равна 25 дм, а второй катет равен 15 дм.

Решение:

Пусть гипотенуза \( c = 25 \) дм, а один из катетов \( a = 15 \) дм. Второй катет \( b \) найдем по теореме Пифагора: \[ c^2 = a^2 + b^2 \] откуда \[ b = \sqrt{c^2 - a^2} \]

Подставляем значения: \[ b = \sqrt{25^2 - 15^2} = \sqrt{625 - 225} = \sqrt{400} = 20 \] дм.

Ответ: 20 дм

4. Найдите \( \sin a \), если \( \cos a = \frac{2}{3} \)

Решение:

Используем основное тригонометрическое тождество: \[ \sin^2 a + \cos^2 a = 1 \]

Тогда \[ \sin^2 a = 1 - \cos^2 a \]

Подставляем значение \( \cos a = \frac{2}{3} \): \[ \sin^2 a = 1 - \left(\frac{2}{3}\right)^2 = 1 - \frac{4}{9} = \frac{5}{9} \]

Следовательно, \[ \sin a = \sqrt{\frac{5}{9}} = \frac{\sqrt{5}}{3} \]

Ответ: \(\frac{\sqrt{5}}{3}\)

5. Найдите тангенс угла A треугольника ABC с прямым углом C, если BC = 8, AB = 17.

Решение:

В прямоугольном треугольнике ABC, \( BC = 8 \) и \( AB = 17 \). Найдем сторону AC по теореме Пифагора: \[ AC = \sqrt{AB^2 - BC^2} \]

Подставляем значения: \[ AC = \sqrt{17^2 - 8^2} = \sqrt{289 - 64} = \sqrt{225} = 15 \]

Тангенс угла A равен отношению противолежащего катета BC к прилежащему катету AC: \[ \tan A = \frac{BC}{AC} = \frac{8}{15} \]

Ответ: \(\frac{8}{15}\)

6. Найдите высоту равностороннего треугольника, если его сторона равна 6 см.

Решение:

В равностороннем треугольнике высота \( h \) может быть найдена по формуле: \[ h = \frac{a\sqrt{3}}{2} \], где \( a \) - сторона треугольника.

Подставляем значение \( a = 6 \) см: \[ h = \frac{6\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3} \] см.

Ответ: \(3\sqrt{3}\) см

7. Найдите площадь равнобедренной трапеции, если ее основания равны 5 см и 17 см, а боковая сторона равна 10 см.

Решение:

Площадь трапеции вычисляется по формуле: \[ S = \frac{a+b}{2} \cdot h \], где \( a \) и \( b \) - основания, \( h \) - высота.

Для начала найдем высоту. Опустим высоты из вершин меньшего основания на большее. Получим два прямоугольных треугольника. Разница между основаниями \( 17 - 5 = 12 \) см. Разделим на 2, чтобы найти длину отрезка на большем основании: \[ \frac{12}{2} = 6 \] см.

Теперь найдем высоту по теореме Пифагора: \[ h = \sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8 \] см.

Подставим значения в формулу площади: \[ S = \frac{5+17}{2} \cdot 8 = \frac{22}{2} \cdot 8 = 11 \cdot 8 = 88 \] кв. см.

Ответ: 88 кв. см