Часть 2 №1 (Аналог ЕГЭ 2024 основная волна) а) Решить уравнение sin 2x – cos(π – x) = 0. б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку [; 5π]. №2 (Аналог ЕГЭ 2023 основная волна) а) Решить уравнение 2 sin³ x + √2 = √2 cos² x. б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку -4п промежутку [−4п; – ]. №3 (Аналог ЕГЭ 2024 основная волна) а) Решить уравнение cos 2x + √3 sin(x + π) – 1 = 0. б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку [2π;].

№1

(Аналог ЕГЭ 2024 основная волна)

а) Решить уравнение

• Преобразуем уравнение, используя формулу приведения: cos(π – x) = –cos(x)
• Уравнение примет вид: sin 2x + cos x = 0
• Разложим sin 2x по формуле двойного угла: 2 sin x cos x + cos x = 0
• Вынесем cos x за скобки: cos x (2 sin x + 1) = 0
• Получаем два случая:
• cos x = 0, тогда x = \(\frac{\pi}{2} + \pi n\), где n ∈ Z
• 2 sin x + 1 = 0, тогда sin x = -\(\frac{1}{2}\), откуда x = \((-1)^k\) * \(-\frac{\pi}{6}\) + \(\pi k\), где k ∈ Z

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку \([\[\frac{7\pi}{2}; 5\pi]\]\)

• Рассмотрим корни x = \(\frac{\pi}{2} + \pi n\)
• Подставим значения n, чтобы найти корни в заданном промежутке:
• n = 3: x = \(\frac{\pi}{2} + 3\pi = \frac{7\pi}{2}\)
• n = 4: x = \(\frac{\pi}{2} + 4\pi = \frac{9\pi}{2}\)
• n = 5: x = \(\frac{\pi}{2} + 5\pi = \frac{11\pi}{2}\) (не входит в промежуток)
• Рассмотрим корни x = \((-1)^k\) * \(-\frac{\pi}{6}\) + \(\pi k\)
• Подставим значения k, чтобы найти корни в заданном промежутке:
• k = 3: x = \(\frac{\pi}{6} + 3\pi = \frac{19\pi}{6}\)
• k = 4: x = \(-\frac{\pi}{6} + 4\pi = \frac{23\pi}{6}\)

Ответ: а) \(x = \frac{\pi}{2} + \pi n, x = (-1)^k * (-\frac{\pi}{6}) + \pi k\), где n, k ∈ Z; б) \(\frac{7\pi}{2}, \frac{9\pi}{2}, \frac{19\pi}{6}, \frac{23\pi}{6}\)

№2

(Аналог ЕГЭ 2023 основная волна)

а) Решить уравнение

\[2 \sin^3 x + \sqrt{2} = \sqrt{2} \cos^2 x\]

• Преобразуем уравнение, используя основное тригонометрическое тождество: cos² x = 1 – sin² x
• Уравнение примет вид: 2 sin³ x + √2 = √2 (1 – sin² x)
• Раскроем скобки: 2 sin³ x + √2 = √2 – √2 sin² x
• Перенесем все в левую часть: 2 sin³ x + √2 sin² x = 0
• Вынесем sin² x за скобки: sin² x (2 sin x + √2) = 0
• Получаем два случая:
• sin² x = 0, тогда sin x = 0, откуда x = \(\pi n\), где n ∈ Z
• 2 sin x + √2 = 0, тогда sin x = -\(\frac{\sqrt{2}}{2}\), откуда x = \((-1)^k\) * \(-\frac{\pi}{4}\) + \(\pi k\), где k ∈ Z

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку \([-4\pi; -\frac{5\pi}{2}]\[/p>

• Рассмотрим корни x = \(\pi n\)
• Подставим значения n, чтобы найти корни в заданном промежутке:
• n = -4: x = -4\(\pi\)
• n = -3: x = -3\(\pi\)
• Рассмотрим корни x = \((-1)^k\) * \(-\frac{\pi}{4}\) + \(\pi k\)
• Подставим значения k, чтобы найти корни в заданном промежутке:
• k = -4: x = \(-\frac{\pi}{4} - 4\pi = -\frac{17\pi}{4}\)
• k = -3: x = \(\frac{\pi}{4} - 3\pi = -\frac{11\pi}{4}\)

Ответ: а) \(x = \pi n, x = (-1)^k * (-\frac{\pi}{4}) + \pi k\), где n, k ∈ Z; б) \(-4\pi, -3\pi, -\frac{17\pi}{4}, -\frac{11\pi}{4}\)

№3

(Аналог ЕГЭ 2024 основная волна)

а) Решить уравнение

\[\cos 2x + \sqrt{3} \sin(x + \pi) – 1 = 0\]

• Преобразуем уравнение, используя формулу приведения: sin(x + π) = -sin(x)
• Уравнение примет вид: cos 2x - √3 sin x – 1 = 0
• Разложим cos 2x по формуле двойного угла: 1 - 2 sin² x - √3 sin x – 1 = 0
• Упростим: -2 sin² x - √3 sin x = 0
• Вынесем sin x за скобки: sin x (-2 sin x - √3) = 0
• Получаем два случая:
• sin x = 0, тогда x = \(\pi n\), где n ∈ Z
• -2 sin x - √3 = 0, тогда sin x = -\(\frac{\sqrt{3}}{2}\), откуда x = \((-1)^k\) * \(-\frac{\pi}{3}\) + \(\pi k\), где k ∈ Z

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку \([2\pi; \frac{7\pi}{2}]\[/h4>

• Рассмотрим корни x = \(\pi n\)
• Подставим значения n, чтобы найти корни в заданном промежутке:
• n = 2: x = 2\(\pi\)
• n = 3: x = 3\(\pi\)
• Рассмотрим корни x = \((-1)^k\) * \(-\frac{\pi}{3}\) + \(\pi k\)
• Подставим значения k, чтобы найти корни в заданном промежутке:
• k = 2: x = \(-\frac{\pi}{3} + 2\pi = \frac{5\pi}{3}\) (не входит в промежуток)
• k = 3: x = \(\frac{\pi}{3} + 3\pi = \frac{10\pi}{3}\)

Ответ: а) \(x = \pi n, x = (-1)^k * (-\frac{\pi}{3}) + \pi k\), где n, k ∈ Z; б) \(2\pi, 3\pi, \frac{10\pi}{3}\)