14. Часть программы тренировок Сергея заключается в беге на беговой дорожке. На первой тренировке необходимо бежать 15 минут, на каждой следующей время пробежки увеличивается на 7 минут. За сколько тренировок Сергей проведёт на беговой дорожке в общей сложности 2 часа 25 минут, если будет следовать программе? (В ответе укажите только число.)

Прежде чем приступить к решению, переведём время в минуты: 2 часа 25 минут = 2 × 60 + 25 = 145 минут.

Пусть n - количество тренировок. Время каждой тренировки образует арифметическую прогрессию, где первый член ( a_1 = 15 ), разность ( d = 7 ). Сумма n членов арифметической прогрессии равна общему времени тренировок, то есть 145 минутам.

Сумма n членов арифметической прогрессии вычисляется по формуле: $$S_n = \frac{n}{2} (2a_1 + (n - 1)d)$$.

Подставляем известные значения: $$145 = \frac{n}{2} (2 \cdot 15 + (n - 1)7)$$.

Упрощаем уравнение: $$290 = n(30 + 7n - 7)$$, $$290 = n(23 + 7n)$$, $$7n^2 + 23n - 290 = 0$$.

Решаем квадратное уравнение. Дискриминант ( D = 23^2 - 4 \cdot 7 \cdot (-290) = 529 + 8120 = 8649 ). $$n = \frac{-23 \pm \sqrt{8649}}{2 \cdot 7} = \frac{-23 \pm 93}{14}$$.

Находим корни: $$n_1 = \frac{-23 + 93}{14} = \frac{70}{14} = 5$$, $$n_2 = \frac{-23 - 93}{14} = \frac{-116}{14} \approx -8.29$$.

Так как количество тренировок не может быть отрицательным, берём положительный корень: n = 5.

Ответ: 5