Часть С. Высота BM, проведенная из вершины угла ромба ABCD, образует со стороной AB угол 30°, длина диагонали AC равна 6 см. Найдите AM, если точка M лежит на продолжении стороны AD.

Поскольку BM — высота к прямой AD, имеем \(BM\perp AD\). Точка M находится на продолжении AD, поэтому угол между лучами BA и BM равен 30°, а угол BAD равен \(90°+30°=120°\).

Диагональ AC ромба является суммой двух сторон AB и AD. По теореме косинусов:

\(AC^2=AB^2+AD^2+2\cdot AB\cdot AD\cdot\cos120°\).

Так как \(AB=AD=s\) и \(\cos120°=-\frac12\), получаем \(AC^2=s^2+s^2-s^2=s^2\). Следовательно, \(s=AC=6\) см.

Треугольник ABM прямоугольный, угол ABM равен 30°, а AB — гипотенуза. Поэтому \(AM=AB\cdot\sin30°=6\cdot\frac12=3\) см.

Ответ: 3 см.