Часть В. Решите задачи. B1.

Решение:

В прямоугольном треугольнике ABC:

\( \angle A = 180° - 90° - 40° = 50° \)

В треугольнике AOD:

\( \angle AOD = 180° - \angle A - \angle ODA = 180° - 50° - 40° = 90° \)

\( \angle AOC = 180° - \angle AOD = 180° - 90° = 90° \)

Рассмотрим треугольник AOC. \( \angle OAC = 50° \), \( \angle ACO = 90° \), \( \angle AOC = 90° \), что невозможно.

Перечитаем условие: Дано: ∠B = ∠C = 90°, AB = DC, ∠CDO = 40°. Найти: углы ΔAOD.

В прямоугольном треугольнике BCD: \( \angle BDC = 90° - \angle C = 90° - 40° = 50° \)

\( BC = DC \cdot \sin(40°) \)

\( BD = DC \cdot \cos(40°) \)

В прямоугольном треугольнике ABC: \( AB = BC = DC \cdot \sin(40°) \)

\( AC = AB = DC \cdot \sin(40°) \)

В треугольнике AOD:

\( \angle OAD = 180° - \angle BAC = 180° - 90° = 90° \) - это неверно, так как A, O, C лежат на одной прямой.

Рассмотрим четырёхугольник ABCD. AB || DC, BC || AD. Это параллелограмм. Но у нас ∠B=90°, ∠C=90°, значит это прямоугольник.

Если ABCD — прямоугольник, то AB = CD и BC = AD.

Дано: ∠B=∠C=90°, AB=DC, ∠CDO=40°.

В прямоугольном треугольнике BCD:

\( \angle CBD = 90° - \angle BDC = 90° - 40° = 50° \)

\( BC = DC \cdot \sin(40°) \)

\( BD = DC \cdot \cos(40°) \)

Так как ABCD — прямоугольник, то AB = DC и BC = AD.

\( \angle CAD = \angle ACB = 90° \) - это неверно.

В прямоугольном треугольнике ABC, \( \angle BAC = 90° \).

\( AC = AB \cdot \text{tg}(\angle ABC) \) - это неверно.

Рассмотрим треугольник COD.

\( \angle COD = 180° - \angle OCD - \angle ODC = 180° - 90° - 40° = 50° \)

\( \angle AOD = 180° - \angle COD = 180° - 50° = 130° \) (развернутый угол).

В треугольнике AOD:

\( \angle OAD + \angle ODA + \angle AOD = 180° \)

\( \angle OAD + \angle ODA + 130° = 180° \)

\( \angle OAD + \angle ODA = 50° \)

Нам известно, что AB = DC. В прямоугольном треугольнике ABC: \( \angle BAC = 90° \). \( \angle BCA = 90° \).

Рассмотрим прямоугольный треугольник BCD. \( \angle C = 90° \). \( \angle BDC = 40° \). \( \angle CBD = 50° \).

Значит, \( BC = DC \tan(40°) \).

В прямоугольном треугольнике ABC: \( \angle B = 90° \). \( \angle BAC = 90° \). \( \angle BCA = 90° \). Это противоречие.

Перечитаем условие. Дано: ∠B=∠C=90°, AB=DC, ∠CDO=40°. Найти: углы ΔAOD.

Треугольник BCD прямоугольный, \( \angle BDC = 40° \). \( \angle CBD = 50° \).

Так как ABCD — прямоугольник, AB = DC, BC = AD. \( \angle BAC = 90° \).

В прямоугольном треугольнике ABC: \( \angle BCA = 90° \).

\( AC = AB \tan(\angle ABC) \) - Неверно.

В прямоугольном треугольнике ABD: \( \angle B = 90° \). \( AD = BC \). \( AB = DC \).

\( \text{tg}(\angle ADB) = \frac{AB}{AD} = \frac{DC}{BC} = \frac{DC}{DC \tan(40°)} = \frac{1}{\tan(40°)} = \text{ctg}(40°) = \text{tg}(50°) \). \( \angle ADB = 50° \).

\( \angle ODA = \angle ADB = 50° \).

\( \angle ADC = \angle ADB + \angle BDC = 50° + 40° = 90° \).

Если \( \angle ADC = 90° \), то ABCD — прямоугольник.

\( \angle OAD = 180° - 90° - \angle ODA = 180° - 90° - 50° = 40° \).

\( \angle AOD = 180° - \angle OAD - \angle ODA = 180° - 40° - 50° = 90° \).

Ответ: 1. 2см